Assumindo conhecido o limite fundamental exponencial lim n infty(1+1n)^n=e, calcular os seguintes limites:
a) lim n infty(1+13 n)^3 n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra calcular o limite . Esse tipo de limite está relacionado com o número de Euler, , que é uma constante matemática super importante em cálculo. Vamos usar a definição fundamental do limite que diz que . Então, vamos aplicar isso aqui para encontrar o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a expressão . Note que ela está quase na mesma forma da definição do , mas com um pequeno ajuste no denominador. Para facilitar a comparação, podemos fazer uma substituição: vamos chamar . Assim, conforme vai para o infinito, também vai para o infinito.

Passo 3

Substituindo (1+13n)^3n = (1+1m)^m na expressão original, temos:
Agora, a expressão é exatamente a definição fundamental que sabemos que tende a quando vai para o infinito.

Resposta

O limite �� igual a .

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Verificar se as sequências x_n abaixo convergem
b) x_n = 3 n^2 / (n + 1)
Determine o raio e a região de convergência das séries de potências dadas a seguir.
8. sumn=1^infty n^3 x^n4^n
Desenhe as seguintes figuras.
(a) r = 1 + sen(θ);
(b) r = 1 + 2 cos(theta);
© r^2 = cos(theta);
(d) r = 2 sen^2(θ / 2);
(e) r = cos(2 theta);
(f) r = sen(3 θ).
Assumindo conhecido o limite fundamental exponencial lim n infty(1+1n)^n=e, calcular os seguintes limites:
d) lim n infty(1+13 n)^n