Desenhe as seguintes figuras.
(a) r = 1 + sen(θ);
(b) r = 1 + 2 cos(theta);
© r^2 = cos(theta);
(d) r = 2 sen^2(θ / 2);
(e) r = cos(2 theta);
(f) r = sen(3 θ).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que temos aqui. A questão pede para desenharmos várias figuras que são definidas por equações em coordenadas polares. Isso significa que cada figura está descrita por uma relação entre o raio e o ângulo . Para resolver isso, vamos precisar entender como essas equações influenciam a forma das figuras no plano polar e como podemos esboçá-las passo a passo.

Passo 2

a)
Primeiro, vamos analisar a equação . Essa é uma equação de um tipo específico chamado de “cardioide”. A presença do termo indica que a figura será simétrica em relação ao eixo vertical (eixo ) no plano polar.
Para desenhar, podemos calcular alguns valores de para diferentes ângulos :
  • :
  • :
  • :
  • :
Plotando esses pontos e conectando-os suavemente, obtemos uma forma semelhante a um coração, típica de uma cardioide.

Passo 3

b)
Agora, vamos para . Essa equação também representa uma limacon, mas com mais particularidades devido ao coeficiente de 2. O termo sugere simetria em relação ao eixo horizontal (eixo ).
Calculando alguns pontos:
  • :
  • :
  • : (no plano polar, negativo significa que o ponto está na direção oposta)
  • :
Desenhando esses pontos, vemos que a figura tem um “pétalo” interno devido ao valor negativo de , resultando em uma limacon com um dente.

Passo 4

c)
Para , vamos primeiro resolver para :
Essa equação descreve uma curva chamada de “cardioide degenerate” ou “círculo lemniscata”. Observando que deve ser não negativo, restringimos aos ângulos onde , ou seja, de a .
Plotando pontos dentro desse intervalo, obtemos uma forma semelhante a uma parábola ou um círculo alongado no eixo .

Passo 5

d)
Vamos simplificar a equação usando identidades trigonométricas. Sabemos que:
Substituindo na equação:
Essa é uma equação de limacon, similar à parte (b), mas com coeficientes diferentes. Novamente, temos simetria em relação ao eixo horizontal.
Calculando alguns pontos:
  • :
  • :
  • :
  • :
Desenhando esses pontos, obtemos uma limacon com um “grande dente”.

Passo 6

e)
Para , essa é uma equação de rosa com dois pétalos, já que o coeficiente de é 2.
Vamos calcular alguns pontos:
  • :
  • :
  • : (o ponto está na direção oposta)
  • :
  • :
Desenhando esses pontos, vemos que a rosa tem dois pétalos, um na direção positiva do eixo e outro na direção negativa.

Passo 7

f)
Por fim, para , temos uma rosa com três pétalos, já que o coeficiente de é 3, que é ímpar.
Calculando alguns pontos:
  • :
  • :
  • :
  • : (ponto oposto)
  • E assim por diante.
Desenhando estes pontos, vemos que a rosa tem três pétalos igualmente espaçados ao redor do círculo.

Resposta

Prontinho! Desenhamos todas as figuras solicitadas, cada uma com suas características específicas baseadas nas suas equações polares. Se seguir os passos e calcular os pontos como fizemos, você conseguirá esboçar cada uma dessas curvas sem problemas!

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f) lim n infty(1+1n)^n+2