Assumindo uma região livre de fontes, deduza a equação de difusão:
DICA: utilize a Lei de Faraday e a seguinte identidade:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício para deduzir uma equação de difusão que relaciona a densidade de carga elétrica
com o tempo. O enunciado nos dá a equação que queremos chegar:
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Faraday da eletricidade e uma identidade vetorial que envolve o operador “rotacional”. Precisamos entender como essas ferramentas da Eletromagnetismo nos ajudam a relacionar a densidade de carga com seu comportamento no tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Faraday, que faz parte das equações de Maxwell. Ela nos diz que uma variação no tempo do campo magnético gera um campo elétrico rotacionalmente varrido. A fórmula é:
Aqui,
representa o “rotacional” do campo elétrico
, e
é a variação do campo magnético
no tempo.
Passo 3
Agora, vamos usar a identidade vetorial fornecida:
Essa identidade nos permite reescrever o rotacional do rotacional de
em termos da divergência e do Laplaciano de
.
Passo 4
Em uma região livre de fontes, ou seja, sem cargas livres, a divergência do campo elétrico é zero:
Isso simplifica a identidade para:
Passo 5
Voltando à Lei de Faraday, temos:
Vamos aplicar o operador rotacional novamente em ambos os lados da equação:
Usando a identidade que simplificamos, fica:
Passo 6
Agora, usamos a outra equação de Maxwell, a Lei de Ampère-Maxwell, que relaciona o rotacional de
com a corrente elétrica
e a variação do campo elétrico:
Aqui,
é a condutividade elétrica e
é a permissividade elétrica do meio.
Passo 7
Substituindo essa expressão na equação anterior:
Simplificando os sinais:
Passo 8
Assumindo que as variações no tempo são lentas, podemos negligenciar o termo de segunda derivada temporal:
Isso nos dá uma equação de difusão para o campo elétrico
.
Passo 9
No entanto, queremos uma equação para a densidade de carga
. Sabemos que a densidade de carga está relacionada ao campo elétrico pela equação de Gauss:
Como estamos em uma região sem fontes, inicialmente
, mas queremos ver como ela evolui no tempo devido à condutividade.
Passo 10
Vamos usar a continuidade da carga elétrica, que relaciona a variação da densidade de carga com a divergência da corrente:
Sabemos que a corrente elétrica
é dada por:
Substituindo na equação de continuidade:
Passo 11
Assumindo que a condutividade
é constante no espaço, temos:
E usando a relação de Gauss
:
Resposta
Assim, deduzimos que a densidade de carga
satisfaz a equação de difusão:
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