Assumindo uma região livre de fontes, deduza a equação de difusão:
partial rhovpartial t+sigmaepsilon rhov=0
DICA: utilize a Lei de Faraday e a seguinte identidade:
nabla times nabla times E=nabla(nabla cdot E)-nabla^2 E

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício para deduzir uma equação de difusão que relaciona a densidade de carga elétrica rhov com o tempo. O enunciado nos dá a equação que queremos chegar:
partial rhovpartial t + sigmaepsilon rhov = 0
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Faraday da eletricidade e uma identidade vetorial que envolve o operador “rotacional”. Precisamos entender como essas ferramentas da Eletromagnetismo nos ajudam a relacionar a densidade de carga com seu comportamento no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Faraday, que faz parte das equações de Maxwell. Ela nos diz que uma variação no tempo do campo magnético gera um campo elétrico rotacionalmente varrido. A fórmula é:
nabla times E = -partial Bpartial t
Aqui, nabla times E representa o “rotacional” do campo elétrico E, e partial Bpartial t é a variação do campo magnético B no tempo.

Passo 3

Agora, vamos usar a identidade vetorial fornecida:
nabla times nabla times E = nabla(nabla cdot E) - nabla^2 E
Essa identidade nos permite reescrever o rotacional do rotacional de E em termos da divergência e do Laplaciano de E.

Passo 4

Em uma região livre de fontes, ou seja, sem cargas livres, a divergência do campo elétrico é zero:
nabla cdot E = 0
Isso simplifica a identidade para:
nabla times nabla times E = -nabla^2 E

Passo 5

Voltando à Lei de Faraday, temos:
nabla times E = -partial Bpartial t
Vamos aplicar o operador rotacional novamente em ambos os lados da equação:
nabla times (nabla times E) = -nabla times partial Bpartial t
Usando a identidade que simplificamos, fica:
-nabla^2 E = -partialpartial t (nabla times B)

Passo 6

Agora, usamos a outra equação de Maxwell, a Lei de Ampère-Maxwell, que relaciona o rotacional de B com a corrente elétrica J e a variação do campo elétrico:
nabla times B = mu sigma E + mu epsilon partial Epartial t
Aqui, sigma é a condutividade elétrica e epsilon é a permissividade elétrica do meio.

Passo 7

Substituindo essa expressão na equação anterior:
-nabla^2 E = -partialpartial t ( mu sigma E + mu epsilon partial Epartial t )
Simplificando os sinais:
nabla^2 E = mu sigma partial Epartial t + mu epsilon partial^2 Epartial t^2

Passo 8

Assumindo que as variações no tempo são lentas, podemos negligenciar o termo de segunda derivada temporal:
nabla^2 E approx mu sigma partial Epartial t
Isso nos dá uma equação de difusão para o campo elétrico E.

Passo 9

No entanto, queremos uma equação para a densidade de carga rhov. Sabemos que a densidade de carga está relacionada ao campo elétrico pela equação de Gauss:
nabla cdot E = rhovepsilon
Como estamos em uma região sem fontes, inicialmente rhov = 0, mas queremos ver como ela evolui no tempo devido à condutividade.

Passo 10

Vamos usar a continuidade da carga elétrica, que relaciona a variação da densidade de carga com a divergência da corrente:
partial rhovpartial t + nabla cdot J = 0
Sabemos que a corrente elétrica J é dada por:
J = sigma E
Substituindo na equação de continuidade:
partial rhovpartial t + nabla cdot (sigma E) = 0

Passo 11

Assumindo que a condutividade sigma é constante no espaço, temos:
partial rhovpartial t + sigma nabla cdot E = 0
E usando a relação de Gauss nabla cdot E = rhovepsilon:
partial rhovpartial t + sigmaepsilon rhov = 0

Resposta

Assim, deduzimos que a densidade de carga rhov satisfaz a equação de difusão:
partial rhovpartial t + sigmaepsilon rhov = 0

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