Um atacadista vende tênis a 20,00 reais o par para pedidos de menos de 50 pares. No caso de pedidos de 50 pares ou mais (até 600 ), o preço por par sofre uma redução de 0,02 centavos por par. Qual deve ser a quantidade encomendada que proporcione maior receita possível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre vendas de tênis por um atacadista. A gente tem duas situações:
  1. Se você compra menos de 50 pares, cada par sai por R$20,00.
  2. Se compra entre 50 e 600 pares, o preço de cada par diminui R$0,02 para cada par a mais que você pede.
Nosso objetivo aqui é descobrir quantos pares você deve encomendar para que a empresa tenha a maior receita possível. Vamos precisar usar um pouco de matemática básica para resolver isso, especialmente funções de receita e maximização.

Passo 2

Primeiro, precisamos definir a receita da venda. Receita é o quanto a empresa ganha vendendo os produtos, e ela é calculada multiplicando o preço por unidade pela quantidade vendida.
Então, se é o número de pares de tênis vendidos:
  • Para :
  • Para :
Vamos focar na segunda parte, porque queremos maximizar a receita, e isso acontece provavelmente com uma quantidade maior de pares.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão da receita para :
Agora, temos uma função quadrática da forma . Sabemos que uma função quadrática com coeficiente de negativo tem um ponto máximo.

Passo 4

Para encontrar o valor de que maximiza a receita, usamos a fórmula do vértice de uma parábola:
Na nossa função , os coeficientes são:
Substituindo na fórmula:

Passo 5

Verificamos se esse valor está dentro do intervalo válido, que é entre 50 e 600 pares. Como 525 está dentro desse intervalo, ele é a solução válida.

Passo 6

Agora, vamos confirmar que essa quantidade realmente maximiza a receita calculando a receita nesse ponto:

Resposta

A quantidade encomendada que proporciona a maior receita possível é 525 pares.

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