Determine os números críticos de f(x) no intervalo dado e esboce o gráfico de f, f', f'' evidenciando o comportamento da função através de suas derivadas:
f(x) = { |x + 1| se x <= 0, cos(x) se x > 0 } em [-2, 3*pi/2]

Passo 1

Então, vamos lá! Temos uma função f(x) definida de forma diferente dependendo do valor de x dentro do intervalo . Precisamos encontrar os números críticos dessa função e esboçar os gráficos de f, , e para entender como a função se comporta através das suas derivadas.
Conteúdo da matéria que vamos precisar:
  • Derivadas: Para encontrar os números críticos, vamos precisar derivar a função.
  • Funções por partes: Como a função é definida de forma diferente para x <= 0 e , vamos tratar cada parte separadamente.
  • Análise de pontos críticos: Identificar onde a derivada é zero ou não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função f(x) em cada parte do seu domínio.
Para x <= 0:
A derivada de é , desde que u != 0. Aqui, , então:
Portanto, para , , e para , .
Para :
A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos identificar onde a derivada é zero ou não existe, pois esses pontos são os números críticos.
Para x <= 0:
  • Quando , (constante, nunca zero).
  • Quando , (constante, nunca zero).
  • Em , a derivada não existe porque há uma mudança brusca na inclinação da função (pico).
Para :
As soluções para no intervalo são:

Passo 4

Vamos compilar todos os números críticos encontrados no intervalo :
  • (onde a derivada não existe)
  • (onde a derivada é zero)

Passo 5

Por fim, vamos esboçar os gráficos de f(x), e .
  • Gráfico de f(x):
    • Para x <= 0: Vértice em , formando um “V”.
    • Para : Gráfico da função cosseno.
  • Gráfico de :
    • Para : (linha horizontal abaixo do eixo).
    • Para : (linha horizontal acima do eixo).
    • Para : (onda senoidal invertida).
  • Gráfico de :
    • Derivada de :
      • Para e : (pois são linhas horizontais).
      • Para : .

Resposta

Os números críticos de f(x) no intervalo são:

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