Determine os números críticos de
no intervalo dado e esboce o gráfico de
evidenciando o comportamento da função através de suas derivadas:
em
Passo 1
Então, vamos lá! Temos uma função
definida de forma diferente dependendo do valor de
dentro do intervalo
. Precisamos encontrar os números críticos dessa função e esboçar os gráficos de
,
, e
para entender como a função se comporta através das suas derivadas.
Conteúdo da matéria que vamos precisar:
- Derivadas: Para encontrar os números críticos, vamos precisar derivar a função.
- Funções por partes: Como a função é definida de forma diferente para
e , vamos tratar cada parte separadamente. - Análise de pontos críticos: Identificar onde a derivada é zero ou não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a função
em cada parte do seu domínio.
Para
:
A derivada de
é
, desde que
. Aqui,
, então:
Portanto, para
,
, e para
,
.
Para
:
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos identificar onde a derivada é zero ou não existe, pois esses pontos são os números críticos.
Para
:
- Quando
, (constante, nunca zero). - Quando
, (constante, nunca zero). - Em
, a derivada não existe porque há uma mudança brusca na inclinação da função (pico).
Para
:
As soluções para
no intervalo
são:
Passo 4
Vamos compilar todos os números críticos encontrados no intervalo
:
-
(onde a derivada não existe) -
(onde a derivada é zero)
Passo 5
Por fim, vamos esboçar os gráficos de
,
e
.
-
Gráfico de
: - Para
: Vértice em , formando um “V”. - Para
: Gráfico da função cosseno.
- Para
-
Gráfico de
: - Para
: (linha horizontal abaixo do eixo). - Para
: (linha horizontal acima do eixo). - Para
: (onda senoidal invertida).
- Para
-
Gráfico de
: - Derivada de
: - Para
e : (pois são linhas horizontais). - Para
: .
- Para
- Derivada de
Resposta
Os números críticos de
no intervalo
são: