Estude a função f(x) = x^2 - cos(2x) - x na reta. Esboce seu gráfico utilizando as derivadas. Encontre onde f(x) = 0 e os pontos (se houver) de máximo e mínimo de f(x). Obs. Use o método de Newton para aproximações.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função . Precisamos analisar o comportamento dessa função na reta real. Para isso, vamos usar o cálculo diferencial, ou seja, derivadas. Com as derivadas, podemos esboçar o gráfico da função, encontrar onde ela se iguala a zero ( ) e identificar pontos de máximo e mínimo. Além disso, para encontrar as raízes de , vamos utilizar o método de Newton, que é uma técnica de aproximação numérica.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada primeira da função . A derivada nos ajuda a entender onde a função está crescendo ou decrescendo, e também a encontrar os pontos de máximo e mínimo.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada segunda de , que nos ajuda a determinar a concavidade da função e confirmar se os pontos críticos são máximos ou mínimos.
A derivada segunda é:

Passo 4

Com as derivadas em mãos, podemos esboçar o gráfico da função. Observando , identificamos onde a derivada é zero para encontrar os pontos críticos (onde a função pode ter máximos ou mínimos). Resolvendo :
Essa equação não é fácil de resolver analiticamente, então usaremos o método de Newton para aproximar as raízes.

Passo 5

Antes de aplicar o método de Newton, precisamos escolher um palpite inicial próximo da raiz. Observando a função , podemos tentar valores de próximos a onde .
Vamos tentar :
E :
Como é negativo e é positivo, sabemos que existe uma raiz entre 0 e 1.

Passo 6

Aplicando o método de Newton, que usa a fórmula:
Começando com :
Primeiro, calculamos e :
Então:

Passo 7

Repetimos o processo com :
Então:

Passo 8

Continuamos com :
Então:

Passo 9

Com :
Finalmente:
Aproximadamente, a raiz é .

Resposta

A função tem uma raiz aproximada em . Além disso, ao analisar as derivadas, identificamos que há um ponto de mínimo em . O esboço do gráfico mostra que a função cruza o eixo x nesse ponto e apresenta concavidade positiva, indicando o comportamento de mínimo local.

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