Estude a função
na reta. Esboce seu gráfico utilizando as derivadas. Encontre onde
e os pontos (se houver) de máximo e mínimo de
. Obs. Use o método de Newton para aproximações.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
. Precisamos analisar o comportamento dessa função na reta real. Para isso, vamos usar o cálculo diferencial, ou seja, derivadas. Com as derivadas, podemos esboçar o gráfico da função, encontrar onde ela se iguala a zero (
) e identificar pontos de máximo e mínimo. Além disso, para encontrar as raízes de
, vamos utilizar o método de Newton, que é uma técnica de aproximação numérica.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada primeira da função
. A derivada nos ajuda a entender onde a função está crescendo ou decrescendo, e também a encontrar os pontos de máximo e mínimo.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada segunda de
, que nos ajuda a determinar a concavidade da função e confirmar se os pontos críticos são máximos ou mínimos.
A derivada segunda é:
Passo 4
Com as derivadas em mãos, podemos esboçar o gráfico da função. Observando
, identificamos onde a derivada é zero para encontrar os pontos críticos (onde a função pode ter máximos ou mínimos). Resolvendo
:
Essa equação não é fácil de resolver analiticamente, então usaremos o método de Newton para aproximar as raízes.
Passo 5
Antes de aplicar o método de Newton, precisamos escolher um palpite inicial próximo da raiz. Observando a função
, podemos tentar valores de
próximos a onde
.
Vamos tentar
:
E
:
Como
é negativo e
é positivo, sabemos que existe uma raiz entre 0 e 1.
Passo 6
Aplicando o método de Newton, que usa a fórmula:
Começando com
:
Primeiro, calculamos
e
:
Então:
Passo 7
Repetimos o processo com
:
Então:
Passo 8
Continuamos com
:
Então:
Passo 9
Com
:
Finalmente:
Aproximadamente, a raiz é
.
Resposta
A função
tem uma raiz aproximada em
. Além disso, ao analisar as derivadas, identificamos que há um ponto de mínimo em
. O esboço do gráfico mostra que a função cruza o eixo x nesse ponto e apresenta concavidade positiva, indicando o comportamento de mínimo local.