Até o ano passado, apenas 20 % dos funcionários de uma grande indústria aprovavam a qualidade das refeições servidas em seu refeitório. A indústria, com o intuito de aumentar essa proporção, realizou uma série de medidas corretivas, tanto nas refeições servidas, quanto nas dependências do refeitório. Para verificar se as medidas surtiram efeito, 90 empregados, escolhidos ao acaso, foram entrevistados e desses, 32 relataram aprovar a qualidade das refeições.
(d) Construa um intervalo de confiança para a proporção de funcionários que aprovam a qualidade das refeições servidas no refeitório da indústria após as medidas corretivas, com coeficiente de confiança de 94 %.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos conta que, antes das mudanças, só 20% dos funcionários aprovavam a qualidade das refeições no refeitório. A empresa fez umas melhorias e quis ver se isso melhorou. Para isso, entrevistaram 90 funcionários e 32 disseram que aprovam. Nosso objetivo aqui é construir um intervalo de confiança para a proporção de funcionários que aprovam as refeições agora, usando um nível de confiança de 94%. Para isso, vamos usar conceitos de estatística de amostragem e proporcional.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Número de funcionários entrevistados ( n): 90
  • Número de aprovadores ( x): 32
A proporção amostral ( p) é calculada dividindo o número de aprovadores pelo total entrevistado:
p = xn = 3290

Passo 3

Calculando a proporção amostral:
p = 3290 approx 0,3556
Ou seja, aproximadamente 35,56% dos funcionários entrevistados aprovam as refeições após as mudanças.

Passo 4

Agora, precisamos construir o intervalo de confiança para a verdadeira proporção de aprovação na população. Usaremos a fórmula do intervalo de confiança para proporções:
p pm Z times raizp(1 - p)n
Onde:
  • p é a proporção amostral
  • Z é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado
  • n é o tamanho da amostra

Passo 5

Nosso nível de confiança é de 94%, o que significa que queremos encontrar o valor de Z tal que a área central da distribuição normal seja 0,94. Isso deixa 0,03 em cada cauda da distribuição (porque 1 - 0,94 = 0,06, dividido por 2 dá 0,03).
Consultando a tabela da distribuição normal ou usando uma calculadora estatística, encontramos que o valor crítico Z para um intervalo de confiança de 94% é aproximadamente 1,88.

Passo 6

Agora, vamos calcular o erro padrão ( E):
E = Z times raizp(1 - p)n = 1,88 times raiz0,3556 times (1 - 0,3556)90
Calculando dentro da raiz:
0,3556 times (1 - 0,3556) = 0,3556 times 0,6444 approx 0,229
Então:
raiz0,22990 = raiz0,002544 approx 0,0504
Multiplicando pelo valor de Z:
E = 1,88 times 0,0504 approx 0,0948

Passo 7

Finalmente, construímos o intervalo de confiança:
p - E <= p <= p + E
Substituindo os valores:
0,3556 - 0,0948 <= p <= 0,3556 + 0,0948
0,2608 <= p <= 0,4504

Resposta

O intervalo de confiança para a proporção de funcionários que aprovam a qualidade das refeições é de aproximadamente 26,08% a 45,04% com um nível de confiança de 94%.

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