Até o ano passado, apenas 20 % dos funcionários de uma grande indústria aprovavam a qualidade das refeições servidas em seu refeitório. A indústria, com o intuito de aumentar essa proporção, realizou uma série de medidas corretivas, tanto nas refeições servidas, quanto nas dependências do refeitório. Para verificar se as medidas surtiram efeito, 90 empregados, escolhidos ao acaso, foram entrevistados e desses, 32 relataram aprovar a qualidade das refeições.
© Com base no nível descritivo do teste (valor-p), qual é a conclusão ao nível de significância de 3%? Justifique estatisticamente e interprete em termos do problema.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma indústria onde, até o ano passado, apenas 20% dos funcionários aprovavam a qualidade das refeições no refeitório. A empresa fez várias melhorias e agora quer saber se essas mudanças realmente aumentaram essa porcentagem. Para isso, entrevistaram 90 funcionários aleatoriamente, e 32 deles aprovaram a qualidade das refeições.
Conteúdo da matéria: Teste de hipóteses para proporções.
O que vamos precisar: Saber como realizar um teste de hipótese para uma proporção, calcular o valor-p e tomar uma decisão com base no nível de significância de 3%.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses do teste.
  • Hipótese Nula ( H0): A proporção de aprovação das refeições não mudou. Ou seja, $ p = 0.20 $.
  • Hipótese Alternativa ( p = 0.20 ): A proporção de aprovação das refeições aumentou. Ou seja, $ p > 0.20 $.
Estamos testando se houve um aumento, então é um teste unilateral à direita.

Passo 3

Agora, vamos calcular a proporção observada na amostra.
p = número de aprovaçõestamanho da amostra = 3290 approx 0.3556 úçõ
Então, $ \hat{p} \approx 0.356 $.

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão da proporção sob a hipótese nula.
Erro padrão = raiz p0 (1 - p0)n = raiz 0.20 times 0.8090 approx raiz 0.1690 approx raiz0.00178 approx 0.0422 ã

Passo 5

Agora, calculamos o valor do teste estatístico $ z $:
z ã

Passo 6

Em seguida, determinamos o valor-p associado ao valor de $ z $. O valor-p é a probabilidade de obtermos um resultado tão extremo quanto o observado, assumindo que a hipótese nula é verdadeira.
Para $ z \approx 3.69 $, consultando uma tabela de distribuição normal ou usando uma calculadora, encontramos que:
z

Passo 7

Comparamos o valor-p com o nível de significância de 3% (0.03).
Valor-p approx 0.0001 < 0.03
Como o valor-p é menor que o nível de significância, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Ao nível de significância de 3%, rejeitamos a hipótese nula. Estatisticamente, isso indica que há evidências suficientes para afirmar que a proporção de funcionários que aprovam a qualidade das refeições aumentou após as medidas corretivas. Em termos do problema, as melhorias implementadas no refeitório realmente surtiram efeito positivo na satisfação dos funcionários.

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