Atividade - Entregar na próxima aula (23/04/2024):
Faça um resumo com os dois métodos abaixo, esse resumo deve conter um exemplo de aplicação para um dos métodos.
Falsa Posição Modificado
Ponto Fixo
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO
Unidade Acadêmica do Cabo de Santo Agostinho
Campus Abolicionista Joaquim Nabuco
UACSA
UFRPE

16/04/2024
64

Passo 1

Então, você tem uma atividade pra entregar onde precisa resumir dois métodos: o Falsa Posição Modificado e o Ponto Fixo. Além disso, tem que incluir um exemplo de aplicação para um dos métodos. Vamos entender um pouco sobre cada método e como aplicá-los!

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o Método da Falsa Posição Modificado. Esse é um método numérico usado para encontrar raízes de funções, ou seja, valores de que fazem . É uma variação do método da falsa posição, que melhora a precisão e a convergência.

Passo 3

No método da falsa posição, a gente começa escolhendo dois pontos, e , em que a função muda de sinal, ou seja, . Isso garante que existe pelo menos uma raiz entre e . A partir daí, a gente traça uma linha reta entre os pontos e e encontra onde essa linha cruza o eixo . Esse ponto de cruzamento é a próxima aproximação da raiz.

Passo 4

O Método da Falsa Posição Modificado faz um ajuste nesse processo para melhorar a convergência. Ele modifica a forma como escolhe o próximo ponto baseado nas últimas iterações, evitando que o método fique preso em um ciclo e acelerando a aproximação da raiz.

Passo 5

Agora, vamos para o Método do Ponto Fixo. Esse método também busca encontrar raízes de funções, mas de uma maneira um pouco diferente. A ideia é rearranjar a equação para a forma , onde é uma função derivada de .

Passo 6

No método do ponto fixo, a gente começa com uma estimativa inicial e vai iterando usando a função para encontrar uma sequência que converge para a raiz. A condição para a convergência é que a derivada de em torno da raiz seja menor que 1 em módulo.

Passo 7

Vamos ver um exemplo de aplicação do Método do Ponto Fixo. Suponha que queremos resolver a equação .
  1. Rearranjando a equação: Já está na forma , onde .
  2. Escolhendo uma estimativa inicial: Vamos começar com .
  3. Iterando:
    • E assim por diante, até que a sequência convirja para um valor estável.
Após algumas iterações, a sequência tende a aproximadamente , que é a raiz da equação .

Resposta

Resumindo, o Método da Falsa Posição Modificado e o Método do Ponto Fixo são técnicas numéricas para encontrar raízes de funções. Enquanto o primeiro ajusta iterações para melhorar a convergência, o segundo utiliza rearranjos da equação original para iterar até encontrar o ponto fixo que é a raiz desejada. No exemplo do Método do Ponto Fixo, vimos como resolver através de iterações sucessivas, chegando a uma raiz aproximada de .

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a) Possua limite no ponto ;
b) Seja contínua em .
Calcule a derivada das funções abaixo:
(a)
(b)
©
(d)
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