Calcule a derivada das funções abaixo:
(a) f(x)=5 x^3-2 x^2+1
(b) f(x)=x^4(2 x+5)^10
© f(x)=(2 x+13 x+2)^2
(d) f(x)=(x^2+x+1)^25(x^3+5)^15

Passo 1

Beleza, vamos resolver essas derivadas juntos! A questão pede para calcular a derivada de quatro funções diferentes. Para isso, vamos usar algumas regras básicas de cálculo como a Regra do Poder, Regra do Produto e Regra da Cadeia. Essas regras nos ajudam a encontrar a derivada de funções polinomiais e compostas.

Passo 2

A primeira função é f'(x) = 15x^2 - 4x . Vamos usar a Regra do Poder, que diz que a derivada de é .
  • Derivada de :
  • Derivada de :
  • Derivada de : A derivada de uma constante é 0.
Então, a derivada de é:

Passo 3

A segunda função é f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) . Aqui, precisamos usar a Regra do Produto porque temos um produto de duas funções, e também a Regra da Cadeia para derivar a parte composta f'(x) = 4x^3(2x + 5)^10 + x^4 cdot 20(2x + 5)^9 .
Primeiro, identifiquemos as duas partes:
  • f'(x) = 4x^3(2x + 5)^9 [ (2x + 5) + 5x ] f'(x) = 4x^3(2x + 5)^9 (7x + 5)
  • → Usando a Regra da Cadeia:
    • Derivada externa:
    • Derivada interna:
    • Então,
Agora, aplicando a Regra do Produto:
Podemos fatorar para simplificar:

Passo 4

A terceira função é f'(x) = 2u(x) cdot u'(x) . Vamos usar a Regra da Cadeia e a Regra do Quociente.
Primeiro, vamos definir:
  • u'(x) = (3x + 2)(2) - (2x + 1)(3)(3x + 2)^2
  • Então, u'(x) = 6x + 4 - 6x - 3(3x + 2)^2
Derivando u'(x) = 1(3x + 2)^2 usando a Regra da Cadeia:
f'(x) = 2 cdot 2x + 13x + 2 cdot 1(3x + 2)^2
Agora, encontramos f'(x) = 2(2x + 1)(3x + 2)^3 usando a Regra do Quociente:
Então, substituindo de volta:

Passo 5

A quarta função é f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) . Aqui, usamos a Regra do Produto combinada com a Regra da Cadeia.
Vamos definir:
  • f'(x) = 25 (x^2 + x + 1)^24 (2x + 1) (x^3 + 5)^15 + (x^2 + x + 1)^25 cdot 45x^2 (x^3 + 5)^14
  • f'(x) = (x^2 + x + 1)^24 (x^3 + 5)^14 [25(2x + 1)(x^3 + 5) + 45x^2(x^2 + x + 1)]
Primeiro, encontramos as derivadas de e :
  • (usando a Regra da Cadeia)
Agora, aplicando a Regra do Produto:
Podemos fatorar para simplificar:

Resposta

As derivadas das funções são:
(a) f'(x) = (x^2 + x + 1)^24 (x^3 + 5)^14 [25(2x + 1)(x^3 + 5) + 45x^2(x^2 + x + 1)]
(b)
©
(d)

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