Calcule a derivada das funções abaixo:
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essas derivadas juntos! A questão pede para calcular a derivada de quatro funções diferentes. Para isso, vamos usar algumas regras básicas de cálculo como a Regra do Poder, Regra do Produto e Regra da Cadeia. Essas regras nos ajudam a encontrar a derivada de funções polinomiais e compostas.
Passo 2
A primeira função é
. Vamos usar a Regra do Poder, que diz que a derivada de
é
.
- Derivada de
: - Derivada de
: - Derivada de
: A derivada de uma constante é 0.
Então, a derivada de
é:
Passo 3
A segunda função é
. Aqui, precisamos usar a Regra do Produto porque temos um produto de duas funções, e também a Regra da Cadeia para derivar a parte composta
.
Primeiro, identifiquemos as duas partes:
-
→ -
→ Usando a Regra da Cadeia: - Derivada externa:
- Derivada interna:
- Então,
- Derivada externa:
Agora, aplicando a Regra do Produto:
Podemos fatorar
para simplificar:
Passo 4
A terceira função é
. Vamos usar a Regra da Cadeia e a Regra do Quociente.
Primeiro, vamos definir:
-
- Então,
Derivando
usando a Regra da Cadeia:
Agora, encontramos
usando a Regra do Quociente:
Então, substituindo de volta:
Passo 5
A quarta função é
. Aqui, usamos a Regra do Produto combinada com a Regra da Cadeia.
Vamos definir:
Primeiro, encontramos as derivadas de
e
:
-
(usando a Regra da Cadeia) -
Agora, aplicando a Regra do Produto:
Podemos fatorar
para simplificar:
Resposta
As derivadas das funções são:
(a)
(b)
©
(d)