Um atleta descuidado deixa cair o troféu que está exibindo sobre o dedão do seu pé. Escolhendo o nível do chão como o ponto y
de seu sistema de coordenadas, estime a mudança na energia potencial gravitacional do sistema troféu-Terra enquanto o troféu cai. Repita o cálculo, utilizando o topo da cabeça do atleta como a origem das coordenadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um atleta que deixa cair um troféu e quer a gente calcular como muda a energia potencial gravitacional desse sistema (troféu-Terra) durante a queda. Vamos usar conceitos de energia potencial gravitacional e entender como a escolha da origem das coordenadas (o ponto de referência) afeta nosso cálculo. Precisamos saber a fórmula da energia potencial gravitacional e entender como aplicá-la em diferentes referências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da energia potencial gravitacional, que é:
Onde:
- $ U $ é a energia potencial gravitacional,
- $ m $ é a massa do objeto (no caso, o troféu),
- $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,81 , m/s^2 $),
- $ h $ é a altura em relação ao ponto de referência escolhido.
Passo 3
No primeiro cenário, a gente escolhe o nível do chão como $ y = 0 $. Isso significa que a altura $ h $ do troféu será a distância entre o troféu e o chão no início da queda e no final.
Vamos chamar:
- $ h_i $ de altura inicial do troféu acima do chão,
- $ h_f $ de altura final do troféu acima do chão (que é zero, já que o troféu cai e fica no chão).
Passo 4
A mudança na energia potencial gravitacional ($ \Delta U $) é dada por:
Como $ h_f = 0 $:
Isso significa que a energia potencial diminui em $ m \cdot g \cdot h_i $ durante a queda.
Passo 5
Agora, no segundo cenário, a gente escolhe o topo da cabeça do atleta como a origem das coordenadas ($ y = 0 $). Isso muda como medimos a altura $ h $ do troféu.
Vamos supor que a altura da cabeça do atleta até o chão seja $ H $. Então, a altura inicial do troféu em relação ao topo da cabeça é $ h_i’ = H - h_i $ (se $ h_i $ é a altura do troféu acima do chão). Quando o troféu cai, $ h_f’ = H $.
Passo 6
Calculando a mudança na energia potencial gravitacional com a nova origem:
Simplificando:
Resposta
A mudança na energia potencial gravitacional do sistema troféu-Terra durante a queda é:
- Usando o chão como origem: $ \Delta U = -m \cdot g \cdot h_i $
- Usando o topo da cabeça do atleta como origem: $ \Delta U’ = m \cdot g \cdot h_i $