O mecanismo de lançamento de uma arma de brinquedo consiste em uma mola movida a gatilho. A mola é comprimida para uma posição yA, e o gatilho é disparado. O projétil de massa m sobe para uma posição yC acima da posição na qual sai da mola, posição yB=0. Considere um engatilhamento da arma para o qual m=35,0 g, yA=-0,120 m e yC =20,0 m.
(a) Desprezando todas as forças resistivas, determine a constante da mola.
(b) Encontre a velocidade do projétil conforme ele se move pela posição de equilíbrio B da mola.

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos uma arma de brinquedo que usa uma mola para lançar um projétil. Quando a mola é comprimida até a posição $ y_A $ e o gatilho é puxado, o projétil de massa $ m $ sobe até a posição $ y_C $ acima do ponto de equilíbrio $ y_B = 0 $.
Vamos precisar usar conceitos de energia potencial elástica (pela mola) e energia potencial gravitacional. A ideia é aplicar a Lei da Conservação da Energia, que diz que a energia total no sistema permanece constante, desde que não haja perdas (e estamos desconsiderando as forças resistivas aqui).
Dados fornecidos:
  • Massa do projétil, $ m = 35,0 $ g $ = 0,035 $ kg
  • Compressão da mola, $ y_A = -0,120 $ m
  • Altura máxima, $ y_C = 20,0 $ m
Vamos resolver as partes (a) e (b) seguindo esses conceitos.

Passo 2

Parte (a): Determinar a constante da mola ($ k $)
Para encontrar a constante da mola, vamos igualar a energia potencial elástica da mola comprimida à energia potencial gravitacional que o projétil atinge na altura máxima.
A energia potencial elástica é dada por:
k
A energia potencial gravitacional é:
Umola = 12 k yA^2
Pela conservação da energia:
Ugravitacional = m g yC
Agora, vamos isolar $ k $:
12 k yA^2 = m g yC

Passo 3

Vamos substituir os valores na fórmula para calcular $ k $.
Sabemos que:
  • $ m = 0,035 $ kg
  • $ g = 9,81 $ m/s² (aceleração da gravidade)
  • $ y_C = 20,0 $ m
  • $ y_A = -0,120 $ m (o sinal negativo indica compressão, mas ao quadrado fica positivo)
Substituindo:
k
Calculando o denominador:
m = 0,035
Agora:
g = 9,81
Vamos calcular passo a passo:
yC = 20,0
yA = -0,120
k = 2 times 0,035 times 9,81 times 20,0(-0,120)^2
(-0,120)^2 = 0,0144 , m^2

Passo 4

Parte (b): Encontrar a velocidade do projétil na posição de equilíbrio $ y_B = 0 $
Aqui, queremos saber qual a velocidade do projétil quando ele passa pelo ponto de equilíbrio da mola. Nesse ponto, toda a energia potencial elástica da mola foi convertida em energia cinética do projétil.
A energia potencial elástica permanece:
yB = 0
A energia cinética é:
Umola = 12 k yA^2
Pela conservação da energia:
K = 12 m v^2
Podemos simplificar removendo o $ \frac{1}{2} $ dos dois lados:
12 k yA^2 = 12 m v^2
Isolando $ v $:
12

Passo 5

Vamos substituir os valores na fórmula para calcular $ v $.
Sabemos que:
  • $ k \approx 953,75 $ N/m
  • $ y_A = -0,120 $ m (novamente, o sinal negativo fica positivo ao quadrado)
  • $ m = 0,035 $ kg
Substituindo:
v
Calculando o numerador:
k approx 953,75
yA = -0,120
Agora:
m = 0,035

Resposta

(a) A constante da mola é aproximadamente $ k = 953,75 , N/m $.
(b) A velocidade do projétil na posição de equilíbrio $ y_B = 0 $ é de aproximadamente $ 19,8 , m/s $.

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