Uma bola de massa m é largada de uma altura h acima do chão.
(a) Desprezando a resistência do ar, determine a velocidade da bola quando ela está a uma altura y acima do chão.
(b) Determine a velocidade da bola em y se, no instante em que ela é solta, já está com velocidade inicial para cima vi na altitude inicial h.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física que envolve cinemática, mais especificamente o movimento de queda livre. A situação é a seguinte: temos uma bola com massa $ m $ que é largada de uma altura $ h $ acima do chão. Precisamos encontrar a velocidade da bola quando ela está a uma altura $ y $ do chão no item (a), e no item (b), quando a bola já tem uma velocidade inicial para cima $ v_i $ no momento em que é solta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “desprezar a resistência do ar”. Isso quer dizer que vamos considerar apenas a força da gravidade atuando na bola. A força da gravidade é responsável por acelerar a bola em direção ao chão com uma aceleração constante $ g $, que é aproximadamente $ 9,8 , m/s² $.

Passo 3

Para encontrar a velocidade da bola em qualquer altura $ y $, podemos usar a conservação da energia mecânica. No ponto de partida (altura $ h $), a bola tem energia potencial gravitacional e, ao chegar na altura $ y $, essa energia se transforma em energia cinética.
A energia potencial gravitacional é dada por:
y
E a energia cinética é:
h
Como a energia total é conservada (sem resistência do ar), temos:
y

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação para encontrar a velocidade $ v $ quando a bola está na altura $ y $. Primeiro, podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por $ m $:
v
Em seguida, isolamos $ v^2 $:
y
Multiplicando ambos os lados por 2:
m
E finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar $ v $:
g cdot h = 12 v^2 + g cdot y

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b). Aqui, a bola não é apenas largada, mas já possui uma velocidade inicial para cima $ v_i $ quando está na altura $ h $. Isso significa que além da energia potencial inicial, há também energia cinética inicial.

Passo 6

Usando novamente a conservação da energia, agora temos:
m cdot g cdot h + 12 m vi^2 = 12 m v^2 + m cdot g cdot y
Novamente, dividimos todos os termos por $ m $:
m

Passo 7

Isolando $ v^2 $:
v^2
Multiplicando por 2:
12 v^2 = g (h - y) + 12 vi^2
E tirando a raiz quadrada:
v^2 = 2g (h - y) + vi^2

Resposta

A velocidade da bola quando ela está a uma altura $ y $ acima do chão, com velocidade inicial $ v_i $, é:
y

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