Em t=0 o átomo de hidrogênio encontra-se na autofunção
psi(r, 0)=1raiz10(2|100rang<=+|210rang<=+raiz2|211rang<=+raiz3|21-1rang<=),
na base |n l mrang<=. Ignore o spin.
Qual o valor esperado da energia desse sistema?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem um átomo de hidrogênio no tempo t=0 num estado quântico específico, dado pela função psi(r, 0). A matéria envolve mecânica quântica, especialmente sobre estados de energia de átomos. O que precisamos descobrir é o valor esperado da energia desse sistema, ou seja, uma média ponderada das energias possíveis dos estados em que o átomo pode estar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os estados que aparecem na função psi(r, 0). Eles estão escritos na base |n l mrang<=, onde:
  • n é o número quântico principal que determina a energia do estado.
  • l e m são números quânticos auxiliares que não afetam a energia no átomo de hidrogênio.
Cada estado |n l mrang<= tem uma energia própria dada por:
En = -13,6, eVn^2
Isso significa que a energia depende apenas do número quântico n.

Passo 3

Agora, vamos quebrar a função de onda e identificar os coeficientes de cada estado:
psi(r, 0) = 1raiz10 ( 2|100rang<= + |210rang<= + raiz2|211rang<= + raiz3|21-1rang<= )
Os coeficientes são:
  • Para |100rang<=: 2raiz10
  • Para |210rang<=: 1raiz10
  • Para |211rang<=: raiz2raiz10
  • Para |21-1rang<=: raiz3raiz10
Para encontrar o valor esperado da energia, precisamos das probabilidades desses estados, que são os coeficientes ao quadrado.

Passo 4

Vamos calcular as probabilidades:
  • Probabilidade de |100rang<=: (2raiz10)^2 = 410 = 0,4
  • Probabilidade de |210rang<=: (1raiz10)^2 = 110 = 0,1
  • Probabilidade de |211rang<=: (raiz2raiz10)^2 = 210 = 0,2
  • Probabilidade de |21-1rang<=: (raiz3raiz10)^2 = 310 = 0,3

Passo 5

Agora, vamos associar cada probabilidade com a sua respectiva energia En:
  • Para n=1 (estado |100rang<=): E1 = -13,6, eV1^2 = -13,6, eV
  • Para n=2 (estados |210rang<=, |211rang<=, |21-1rang<=): E2 = -13,6, eV2^2 = -3,4, eV
Agora, multiplicamos cada energia pela sua probabilidade e somamos tudo:
lang<= E rang<= = (0,4 times -13,6, eV) + (0,1 times -3,4, eV) + (0,2 times -3,4, eV) + (0,3 times -3,4, eV)

Passo 6

Vamos fazer as contas:
  • 0,4 times -13,6 = -5,44, eV
  • 0,1 times -3,4 = -0,34, eV
  • 0,2 times -3,4 = -0,68, eV
  • 0,3 times -3,4 = -1,02, eV
Somando tudo:
-5,44 - 0,34 - 0,68 - 1,02 = -7,48, eV

Resposta

O valor esperado da energia desse sistema é -7,48, eV.

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