Encontre os níveis de energia de onda s de uma partícula sujeita ao potencial
V(r)=Ar^2-Br
onde A, B>0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos os níveis de energia de onda s (ou seja, com momento angular $ l = 0 $) de uma partícula que está sujeita a um potencial dado por:
l = 0
onde $ A $ e $ B $ são constantes positivas. Vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente a equação de Schrödinger para sistemas radiais, além de entender como potenciais como esse influenciam os níveis de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma partícula numa dimensão radial com momento angular $ l $, a equação de Schrödinger independente do tempo é:
l
Como estamos lidando com ondas s, temos $ l = 0 $, então a equação simplifica para:
-hbar^22m[ d^2u(r)dr^2 - l(l+1)r^2u(r) ] + V(r)u(r) = E u(r)

Passo 3

Substituindo o potencial $ V® $ na equação, fica:
V(r)
Essa é uma equação diferencial que precisamos resolver para encontrar as energias permitidas $ E $.

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução:
d^2u(r)dr^2 + 2mhbar^2 ( E - Ar^2 + Br ) u(r) = 0
Para resolver essa equação, é comum fazer uma mudança de variável ou tentar encontrar soluções conhecidas para formas semelhantes dessa equação.

Passo 5

Observamos que o potencial $ V® = \frac{A}{r^{2}} - \frac{B}{r} $ é uma combinação de um termo de repulsão proporcional a $ 1/r^{2} $ e um termo de atração proporcional a $ 1/r $. Esse tipo de potencial pode ser tratado usando soluções conhecidas para potenciais do tipo Coulombiano modificados.

Passo 6

Vamos propor uma solução do tipo:
u(r) = r^s e^-lambda r F(r)
onde $ s $ e $ \lambda $ são parâmetros a serem determinados, e $ F® $ é uma função que será encontrada.

Passo 7

Substituindo $ u® $ na equação diferencial e dividindo ambos os lados por $ r^{s} e^{-\lambda r} $, obtemos uma nova equação para $ F® $. Ao igualar os coeficientes dos termos em diferentes potências de $ r $, podemos determinar os valores de $ s $ e $ \lambda $.

Passo 8

Após determinar $ s $ e $ \lambda $, a função $ F® $ geralmente satisfaz uma equação diferencial que pode ser resolvida por funções especiais ou polinomiais. Impor condições de normalização e a solução finita em $ r \to 0 $ e $ r \to \infty $ leva à quantização das energias $ E $.

Passo 9

Finalmente, aplicando essas condições e resolvendo para $ E $, chegamos aos níveis de energia permitidos para a partícula no potencial dado. A presença do termo $ \frac{A}{r^{2}} $ modifica os níveis de energia em relação ao caso clássico de potencial coulombiano $ -\frac{B}{r} $, introduzindo uma dependência adicional nos níveis quânticos.

Resposta

Os níveis de energia de onda $ s $ para a partícula no potencial $ V® = \frac{A}{r^{2}} - \frac{B}{r} $ são dados por:
s
onde $ n $ é o número quântico principal ($ n = 1, 2, 3, \dots $).

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