Para o átomo de hidrogênio o estado fundamental é dado por:
psi100=1raizpi(1a0)^3 / 2 e^-r / a0
© Calcule a distância mais provável de encontrar um elétron no átomo de hidrogênio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos dá a função de onda do estado fundamental do átomo de hidrogênio:
psi100 = 1raizpi (1a0)^3/2 e^-r / a0
O que a gente precisa fazer é calcular a distância mais provável de encontrar o elétron nesse átomo. Basicamente, queremos saber em que valor de a probabilidade de encontrar o elétron é máxima. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade em mecânica quântica e cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a probabilidade de encontrar o elétron em uma certa região é dada pelo quadrado da função de onda multiplicado pelo elemento de volume. No caso de sistemas esféricos, o elemento de volume é P(r) = |psi100|^2 cdot 4pi r^2 . Então, a probabilidade fica:

Passo 3

Vamos calcular |psi100|^2 = ( 1raizpi ( 1a0 )^3/2 e^-r / a0 )^2 = 1pi ( 1a0 )^3 e^-2r / a0 . A função de onda é real, então:

Passo 4

Substituindo P(r) = 1pi ( 1a0 )^3 e^-2r / a0 cdot 4pi r^2 = 4 ( 1a0 )^3 r^2 e^-2r / a0 na expressão de :

Passo 5

Agora, queremos encontrar o valor de dPdr = 0 que maximiza . Isso significa que vamos derivar em relação a e igualar a zero:
Vamos fazer essa derivada passo a passo.

Passo 6

Primeiro, derivamos P(r) = 4 ( 1a0 )^3 r^2 e^-2r / a0 :
dPdr = 4 ( 1a0 )^3 ( 2r e^-2r / a0 + r^2 ( -2a0 ) e^-2r / a0 )
Usamos a regra do produto para derivar:
dPdr = 4 ( 1a0 )^3 e^-2r / a0 ( 2r - 2a0 r^2 )
Simplificando:

Passo 7

Igualamos a derivada a zero para encontrar o ponto de máximo:
4 ( 1a0 )^3 e^-2r / a0 ( 2r - 2a0 r^2 ) = 0
Como 2r - 2a0 r^2 = 0 nunca é zero, ficamos com:

Passo 8

Fatorando:
2r ( 1 - ra0 ) = 0
Então, as soluções são:
r = 0 ou 1 - ra0 = 0 Rightarrow r = a0

Passo 9

Analisando as soluções, r = a0 é o ponto mínimo, então a distância mais provável é:

Resposta

A distância mais provável de encontrar o elétron no átomo de hidrogênio é igual ao raio de Bohr, ou seja:
r = a0

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