Num atuador de movimento linear, a relação lambda - i é dada por:
i=lambda^3 / 2+2,5 lambda(x-1)^2
para 0, onde i é a corrente na bobina do atuador. Qual a força na parte motriz em x=0,6 m ? Dica: encontre a energia Wf e faça a derivada em relaçao a x.

Passo 1

Oi! Vamos resolver esse exercício juntos. Temos um atuador de movimento linear onde a corrente i = lambda^32 + 2,5 lambda (x - 1)^2 na bobina é dada pela relação:
O objetivo é encontrar a força na parte motriz quando metros. Para isso, vamos precisar entender conceitos de energia e derivadas, que fazem parte da Física, especialmente no estudo de movimentos e forças. Vamos seguir os passos para calcular a energia e depois derivar essa energia em relação a para encontrar a força.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a força pode ser relacionada à energia através da derivada. A força F = dWdx é a derivada da energia em relação a :
Então, para encontrar a força, precisamos primeiro determinar a expressão para a energia .

Passo 3

A energia P = i cdot V no contexto de circuitos elétricos pode ser calculada pela integração da potência ao longo do deslocamento. A potência Wf = integral i , dx é dada por:
Onde é a tensão. Mas como não temos , podemos considerar que a energia é a integral da corrente em relação a , assumindo que outras variáveis estão constantes ou incorporadas na expressão. Assim:

Passo 4

Vamos substituir a expressão de Wf = integral ( lambda^32 + 2,5 lambda (x - 1)^2 ) dx na integral:
Vamos integrar termo por termo.

Passo 5

Integrando o primeiro termo:
integral lambda^32 dx = lambda^32 integral dx = lambda^32 x
Integrando o segundo termo:
integral 2,5 lambda (x - 1)^2 dx = 2,5 lambda cdot (x - 1)^33 = 2,5 lambda3 (x - 1)^3
Então, a expressão para Wf = lambda^32 x + 2,5 lambda3 (x - 1)^3 + C fica:
Como estamos interessados na variação da energia, podemos ignorar a constante de integração .

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada de F = dWfdx = ddx ( lambda^32 x + 2,5 lambda3 (x - 1)^3 ) em relação a ddx ( lambda^32 x ) = lambda^32 para encontrar a força ddx ( 2,5 lambda3 (x - 1)^3 ) = 2,5 lambda3 cdot 3(x - 1)^2 = 2,5 lambda (x - 1)^2 :
F = lambda^32 + 2,5 lambda (x - 1)^2
Calculando a derivada termo por termo:
Então, a força é:

Passo 7

Agora, vamos substituir F = lambda^32 + 2,5 lambda (0,6 - 1)^2 metros na expressão da força:
0,6 - 1 = -0,4
Calculando:
(-0,4)^2 = 0,16
F = lambda^32 + 2,5 lambda cdot 0,16 = lambda^32 + 0,4 lambda
Então,

Resposta

A força na parte motriz quando F = lambda^32 + 0,4 lambda metros é:

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