N(AUB) = n(A) + n(B) – n(ANB), onde lemos o número de elementos da união de A com B é igual ao número de elementos de A mais o número de elementos de B subtraído o número de elementos da interseção de A com B. Exemplo: Dos 42 alunos de uma sala de primeiro ano do Ensino Médio, 37 foram aprovados em matemática, 32 foram aprovados em matemática e língua portuguesa, e 36 foram aprovados em língua portuguesa. Quantos alunos foram aprovados em apenas uma das matérias? Vamos resolver este exemplo usando o diagrama de Venn. Como resolver:
  • Colocamos o valor da interseção (32)
  • Subtraímos os alunos aprovados em matemática pela interseção, colocamos o resultado no conjunto.
  • Subtraímos os alunos aprovados em língua portuguesa pela interseção, colocamos o resultado no conjunto.
  • Subtraímos o total de alunos pelos números encontrados, portanto um aluno não foi aprovado em nenhuma das duas matérias. Respondendo à questão temos 5 alunos aprovados apenas em matemática e 4 alunos aprovados apenas em língua portuguesa, portanto temos 9 alunos aprovados apenas em uma das matérias.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema que envolve conjuntos na matemática, especificamente usando diagramas de Venn para entender como os grupos de alunos aprovados em matemática e em língua portuguesa se sobrepõem. A gente vai precisar aplicar a fórmula da união de dois conjuntos para descobrir quantos alunos foram aprovados em apenas uma das matérias.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o total de alunos na sala, que é 42 alunos. Além disso, sabemos que:
  • 37 alunos foram aprovados em matemática.
  • 36 alunos foram aprovados em língua portuguesa.
  • 32 alunos foram aprovados em ambas as matérias.

Passo 3

Vamos usar a fórmula da união de dois conjuntos para entender quantos alunos foram aprovados em pelo menos uma das matérias:
N(A cup B) = n(A) + n(B) - n(A cap B)
Onde:
  • $ N(A \cup B) $ é o número de alunos aprovados em matemática ou língua portuguesa.
  • $ n(A) $ é o número de alunos aprovados em matemática.
  • $ n(B) $ é o número de alunos aprovados em língua portuguesa.
  • $ n(A \cap B) $ é o número de alunos aprovados em ambas as matérias.

Passo 4

Vamos substituir os valores que temos na fórmula:
N(A cup B) = 37 + 36 - 32 = 41
Isso significa que 41 alunos foram aprovados em pelo menos uma das matérias.

Passo 5

Agora, para descobrir quantos alunos não foram aprovados em nenhuma das matérias, subtraímos o total de alunos aprovados em pelo menos uma matéria do total de alunos na sala:
42 - 41 = 1
Portanto, 1 aluno não foi aprovado em nenhuma das duas matérias.

Passo 6

Mas a pergunta quer saber quantos alunos foram aprovados apenas uma das matérias. Sabemos que 32 alunos foram aprovados em ambas. Vamos calcular quantos foram aprovados somente em matemática e somente em língua portuguesa:
  • Apenas matemática:
37 - 32 = 5
  • Apenas língua portuguesa:
36 - 32 = 4

Passo 7

Agora, somamos os alunos aprovados apenas em uma das matérias:
5 + 4 = 9

Resposta

9 alunos foram aprovados apenas em uma das matérias.

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