N(AUB) = n(A) + n(B) – n(ANB), onde lemos o número de elementos da união de A com B é igual ao número de elementos de A mais o número de elementos de B subtraído o número de elementos da interseção de A com B. Exemplo: Dos 42 alunos de uma sala de primeiro ano do Ensino Médio, 37 foram aprovados em matemática, 32 foram aprovados em matemática e língua portuguesa, e 36 foram aprovados em língua portuguesa. Quantos alunos foram aprovados em apenas uma das matérias? Vamos resolver este exemplo usando o diagrama de Venn. Como resolver:
- Colocamos o valor da interseção (32)
- Subtraímos os alunos aprovados em matemática pela interseção, colocamos o resultado no conjunto.
- Subtraímos os alunos aprovados em língua portuguesa pela interseção, colocamos o resultado no conjunto.
- Subtraímos o total de alunos pelos números encontrados, portanto um aluno não foi aprovado em nenhuma das duas matérias. Respondendo à questão temos 5 alunos aprovados apenas em matemática e 4 alunos aprovados apenas em língua portuguesa, portanto temos 9 alunos aprovados apenas em uma das matérias.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema que envolve conjuntos na matemática, especificamente usando diagramas de Venn para entender como os grupos de alunos aprovados em matemática e em língua portuguesa se sobrepõem. A gente vai precisar aplicar a fórmula da união de dois conjuntos para descobrir quantos alunos foram aprovados em apenas uma das matérias.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o total de alunos na sala, que é 42 alunos. Além disso, sabemos que:
- 37 alunos foram aprovados em matemática.
- 36 alunos foram aprovados em língua portuguesa.
- 32 alunos foram aprovados em ambas as matérias.
Passo 3
Vamos usar a fórmula da união de dois conjuntos para entender quantos alunos foram aprovados em pelo menos uma das matérias:
Onde:
- $ N(A \cup B) $ é o número de alunos aprovados em matemática ou língua portuguesa.
- $ n(A) $ é o número de alunos aprovados em matemática.
- $ n(B) $ é o número de alunos aprovados em língua portuguesa.
- $ n(A \cap B) $ é o número de alunos aprovados em ambas as matérias.
Passo 4
Vamos substituir os valores que temos na fórmula:
Isso significa que 41 alunos foram aprovados em pelo menos uma das matérias.
Passo 5
Agora, para descobrir quantos alunos não foram aprovados em nenhuma das matérias, subtraímos o total de alunos aprovados em pelo menos uma matéria do total de alunos na sala:
Portanto, 1 aluno não foi aprovado em nenhuma das duas matérias.
Passo 6
Mas a pergunta quer saber quantos alunos foram aprovados apenas uma das matérias. Sabemos que 32 alunos foram aprovados em ambas. Vamos calcular quantos foram aprovados somente em matemática e somente em língua portuguesa:
- Apenas matemática:
- Apenas língua portuguesa:
Passo 7
Agora, somamos os alunos aprovados apenas em uma das matérias:
Resposta
9 alunos foram aprovados apenas em uma das matérias.