Em uma aula de Matemática, o professor propôs 2 problemas para serem resolvidos pela turma. 76% dos alunos resolveram o primeiro problema, 48% resolveram o segundo e 20% dos alunos não conseguiram resolver nenhum dos dois. Se apenas 22 alunos resolveram os dois problemas, pode-se concluir que o número de alunos dessa classe é um múltiplo de 7.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no problema: Em uma aula de Matemática, 76% dos alunos resolveram o primeiro problema, 48% resolveram o segundo, e 20% não resolveram nenhum dos dois. Além disso, sabemos que 22 alunos resolveram ambos os problemas. Nosso objetivo é descobrir se o número total de alunos na classe é um múltiplo de 7.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de porcentagem e teoria de conjuntos, especificamente o diagrama de Venn, que nos ajuda a visualizar conjuntos e suas intersecções. Precisaremos calcular a quantidade total de alunos com base nas porcentagens fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada porcentagem representa:
- 76% resolveram o primeiro problema.
- 48% resolveram o segundo problema.
- 20% não resolveram nenhum dos dois.
Sabemos que 22 alunos resolveram ambos os problemas. Queremos encontrar o número total de alunos na classe, que chamaremos de $ N $.
Passo 3
Vamos usar a fórmula da união de dois conjuntos para encontrar a porcentagem de alunos que resolveram pelo menos um dos problemas:
Onde:
- $ P(A) $ é a porcentagem que resolveu o primeiro problema.
- $ P(B) $ é a porcentagem que resolveu o segundo problema.
- $ P(A \cap B) $ é a porcentagem que resolveu ambos.
Mas aqui, 20% não resolveram nenhum, então 80% resolveram pelo menos um.
Então:
Passo 4
Substituindo $ P(A \cap B) $ pelo valor conhecido:
Então, 44% dos alunos resolveram ambos os problemas.
Passo 5
Sabemos que 22 alunos representam 44% da classe. Agora, podemos usar uma proporção para encontrar o número total de alunos $ N $:
Convertendo a porcentagem para decimal:
Passo 6
Para encontrar $ N $, dividimos ambos os lados por 0,44:
Então, o número total de alunos na classe é 50.
Resposta
Portanto, o número de alunos da classe é 50, que é um múltiplo de 7 (já que
não é múltiplo exato de 7). Portanto, não podemos concluir que o número de alunos é um múltiplo de 7.