Em uma aula de Matemática, o professor propôs 2 problemas para serem resolvidos pela turma. 76% dos alunos resolveram o primeiro problema, 48% resolveram o segundo e 20% dos alunos não conseguiram resolver nenhum dos dois. Se apenas 22 alunos resolveram os dois problemas, pode-se concluir que o número de alunos dessa classe é um múltiplo de 7.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema: Em uma aula de Matemática, 76% dos alunos resolveram o primeiro problema, 48% resolveram o segundo, e 20% não resolveram nenhum dos dois. Além disso, sabemos que 22 alunos resolveram ambos os problemas. Nosso objetivo é descobrir se o número total de alunos na classe é um múltiplo de 7.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de porcentagem e teoria de conjuntos, especificamente o diagrama de Venn, que nos ajuda a visualizar conjuntos e suas intersecções. Precisaremos calcular a quantidade total de alunos com base nas porcentagens fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada porcentagem representa:
  • 76% resolveram o primeiro problema.
  • 48% resolveram o segundo problema.
  • 20% não resolveram nenhum dos dois.
Sabemos que 22 alunos resolveram ambos os problemas. Queremos encontrar o número total de alunos na classe, que chamaremos de $ N $.

Passo 3

Vamos usar a fórmula da união de dois conjuntos para encontrar a porcentagem de alunos que resolveram pelo menos um dos problemas:
P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)
Onde:
  • $ P(A) $ é a porcentagem que resolveu o primeiro problema.
  • $ P(B) $ é a porcentagem que resolveu o segundo problema.
  • $ P(A \cap B) $ é a porcentagem que resolveu ambos.
Mas aqui, 20% não resolveram nenhum, então 80% resolveram pelo menos um.
Então:
P(A)

Passo 4

Substituindo $ P(A \cap B) $ pelo valor conhecido:
P(A cap B)
80% = 76% + 48% - P(A cap B)
80% = 124% - P(A cap B)
P(A cap B) = 124% - 80%
Então, 44% dos alunos resolveram ambos os problemas.

Passo 5

Sabemos que 22 alunos representam 44% da classe. Agora, podemos usar uma proporção para encontrar o número total de alunos $ N $:
N
Convertendo a porcentagem para decimal:
44% times N = 22

Passo 6

Para encontrar $ N $, dividimos ambos os lados por 0,44:
N
N = 220,44
Então, o número total de alunos na classe é 50.

Resposta

Portanto, o número de alunos da classe é 50, que é um múltiplo de 7 (já que 50 = 7 times 7 + 1 não é múltiplo exato de 7). Portanto, não podemos concluir que o número de alunos é um múltiplo de 7.

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