Para avaliar a qualidade de três empacotadoras (A, B, C) de uma indústria de torrefação de café, retirou-se uma amostra de dez pacotes de café de cada empacotadora e mediu-se o peso líquido. O valor declarado é de 500 g . A empacotadora A apresentou peso médio igual a 500,1 g e variância 6,2 ; a B resultou em peso médio igual a 499,9 g e variância 40,5 e a C, peso médio igual a 530,3 g e variância 5,8 . O que se pode dizer sobre as empacotadoras?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três empacotadoras de café (A, B e C) e queremos avaliar a qualidade delas com base no peso dos pacotes que elas produzem. O peso declarado por cada pacote é de 500 gramas. Para cada empacotadora, foram coletados 10 pacotes e medidos os pesos médios e as variâncias. Vamos precisar entender de estatística, especificamente de testes de hipóteses para médias, para ver se as empacotadoras estão realmente entregando o peso correto.

Passo 2

Primeiro, precisamos formular o que queremos testar. A ideia é verificar se o peso médio dos pacotes produzidos por cada empacotadora é igual ao valor declarado de 500 gramas. Para isso, vamos usar o teste t de Student, que é adequado quando temos um tamanho de amostra pequeno (como 10 pacotes) e não conhecemos o desvio padrão da população.

Passo 3

Vamos formular as hipóteses para cada empacotadora:
  • Hipótese Nula (H₀): O peso médio dos pacotes é igual a 500 g.
    H₀: mu = 500
  • Hipótese Alternativa (H₁): O peso médio dos pacotes é diferente de 500 g.
    H₁: mu neq 500
Vamos realizar o teste para cada empacotadora individualmente.

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor t para cada empacotadora usando a fórmula:
t = barx - mu0s / raizn
Onde:
  • s = raiz6,2 approx 2,49 é a média da amostra.
  • tA = 500,1 - 5002,49 / raiz10 approx 0,10,788 approx 0,127 é a média declarada (500 g).
  • s = raiz40,5 approx 6,36 é o desvio padrão da amostra (a raiz quadrada da variância).
  • tB = 499,9 - 5006,36 / raiz10 approx -0,12,01 approx -0,050 é o tamanho da amostra (10 pacotes).
Vamos calcular para cada empacotadora:
Empacotadora A:
s = raiz5,8 approx 2,41
tC = 530,3 - 5002,41 / raiz10 approx 30,30,761 approx 39,78
Empacotadora B:
Empacotadora C:

Passo 5

Agora, precisamos comparar os valores de t calculados com o valor crítico da distribuição t para um nível de confiança de 95% e 9 graus de liberdade (n-1). O valor crítico para um teste bicaudal é aproximadamente ±2,262.
  • Empacotadora A: está dentro de -2,262 e +2,262. Não rejeitamos H₀. Não há evidência de diferença significativa.
  • Empacotadora B: também está dentro do intervalo crítico. Não rejeitamos H₀. Não há evidência de diferença significativa.
  • Empacotadora C: está muito além de +2,262. Rejeitamos H₀. Há evidência de que o peso médio é diferente de 500 g.

Resposta

Apenas a empacotadora C apresenta diferença significativa no peso médio dos pacotes, produzindo pacotes com peso significativamente maior que os 500 g declarados. As empacotadoras A e B não mostraram diferenças estatisticamente significativas em relação ao peso declarado.

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