N. ^0 de avarias 0 1 2 3 4 5
Frequências 53 68 44 17 16 2
(a) Faça a representação gráfica das frequências relativas e das frequências relativas acumuladas.
(b) Calcule a média, o desvio padrão e a moda.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de estatística juntos! A gente tem uma tabela com o número de avarias e suas respectivas frequências. Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo:
  • Parte (a): Fazer gráficos das frequências relativas e das frequências relativas acumuladas.
  • Parte (b): Calcular a média, o desvio padrão e a moda dos dados.
Vamos precisar usar conceitos de frequência relativa, frequência relativa acumulada, média, desvio padrão e moda para resolver tudo isso.

Passo 2

Antes de mais nada, vamos calcular o total de observações. Isso é importante para conseguirmos as frequências relativas.
Somamos todas as frequências:
53 + 68 + 44 + 17 + 16 + 2 = 200
Então, temos um total de 200 observações.

Passo 3

Agora, vamos calcular as frequências relativas. A frequência relativa de cada categoria é a frequência da categoria dividida pelo total de observações.
Por exemplo, para 0 avarias:
Frequência Relativa = 53200 = 0,265 , (ou 26,5%) ê
Fazemos o mesmo para as outras categorias:
  • 1 avaria:
  • 2 avarias:
  • 3 avarias:
  • 4 avarias:
  • 5 avarias:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular as frequências relativas acumuladas. Isso significa que, para cada categoria, somamos a frequência relativa dessa categoria com todas as anteriores.
Vamos lá:
  • 0 avarias: (26,5%)
  • 1 avaria: (60,5%)
  • 2 avarias: (82,5%)
  • 3 avarias: (91%)
  • 4 avarias: (99%)
  • 5 avarias: (100%)

Passo 5

Agora que temos as frequências relativas e acumuladas, vamos representar isso graficamente.
Frequências Relativas:
Podemos fazer um gráfico de barras onde o eixo horizontal representa o número de avarias (0 a 5) e o eixo vertical representa a frequência relativa (de 0 a 1 ou 0% a 100%).
Frequências Relativas Acumuladas:
Um gráfico de linhas é ideal para mostrar as frequências acumuladas. O eixo horizontal ainda representa o número de avarias, e o eixo vertical mostra a frequência acumulada.
Como estamos em texto, imagine os gráficos baseados nos valores que calculamos.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b) e calcular a média das avarias.
A fórmula da média é:
barx = sum (xi cdot fi)sum fi
Onde:
  • barx = (0 cdot 53) + (1 cdot 68) + (2 cdot 44) + (3 cdot 17) + (4 cdot 16) + (5 cdot 2)200 é o número de avarias.
  • barx = 0 + 68 + 88 + 51 + 64 + 10200 = 281200 = 1,405 é a frequência de cada .
Vamos calcular:
Então, a média é aproximadamente 1,405 avarias.

Passo 7

Vamos calcular agora o desvio padrão, que nos diz o quanto os dados estão espalhados em torno da média.
A fórmula do desvio padrão ( sigma = raizsum fi (xi - barx)^2sum fi ) é:
53 cdot (0 - 1,405)^2 = 53 cdot 1,974 = 104,6
Primeiro, vamos calcular cada termo 68 cdot (1 - 1,405)^2 = 68 cdot 0,164 = 11,15 :
  • Para 0 avarias:
44 cdot (2 - 1,405)^2 = 44 cdot 0,36 = 15,84
  • Para 1 avaria:
17 cdot (3 - 1,405)^2 = 17 cdot 2,485 = 42,245
  • Para 2 avarias:
16 cdot (4 - 1,405)^2 = 16 cdot 6,597 = 105,552
  • Para 3 avarias:
2 cdot (5 - 1,405)^2 = 2 cdot 12,612 = 25,224
  • Para 4 avarias:
104,6 + 11,15 + 15,84 + 42,245 + 105,552 + 25,224 = 304,611
  • Para 5 avarias:
sigma = raiz304,611200 = raiz1,523 approx 1,234
Agora, somamos todos esses valores:
Finalmente, aplicamos na fórmula:
Então, o desvio padrão é aproximadamente 1,234 avarias.

Passo 8

Por último, vamos determinar a moda dos dados. A moda é o valor que aparece com maior frequência.
Observando as frequências:
  • 0 avarias: 53
  • 1 avaria: 68
  • 2 avarias: 44
  • 3 avarias: 17
  • 4 avarias: 16
  • 5 avarias: 2
O valor com maior frequência é 1 avaria com 68 ocorrências. Portanto, a moda é 1 avaria.

Resposta

(a) As frequências relativas são 26,5%, 34%, 22%, 8,5%, 8% e 1% para 0, 1, 2, 3, 4 e 5 avarias, respectivamente. As frequências relativas acumuladas são 26,5%, 60,5%, 82,5%, 91%, 99% e 100%.
(b) A média das avarias é aproximadamente 1,405, o desvio padrão é cerca de 1,234 avarias e a moda é 1 avaria.

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