Suponha que a demanda por certa peça, numa loja de autopeças, tenha a seguinte função de probabilidade
P(X=k)=a 2^kk!, para k in1,2,3,4.
c) Qual é a variabilidade da demanda?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre a demanda de uma peça numa loja de autopeças. A função de probabilidade dada é para . Nosso objetivo aqui é encontrar a variabilidade dessa demanda, que na estatística a gente chama de variância. Para isso, vamos precisar entender como calcular a variância de uma distribuição discreta.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de sumk=1^4 P(X=k) = 1 para que as probabilidades somem 1, já que a soma de todas as probabilidades em uma distribuição deve ser igual a 1.
A gente tem:
sumk=1^4 a cdot 2^kk! = 1
Substituindo a cdot 2^11! = 2a a cdot 2^22! = 4a2 = 2a a cdot 2^33! = 8a6 approx 1.333a a cdot 2^44! = 16a24 approx 0.666a :
2a + 2a + 1.333a + 0.666a = 6a
Vamos calcular cada termo:
6a = 1 implies a = 16
Somando tudo:
Então:

Passo 3

Agora, atualizamos a função de probabilidade com P(X=k) = 16 cdot 2^kk! :
P(X=1) = 16 cdot 21 = 26 = 13 P(X=2) = 16 cdot 42 = 412 = 13 P(X=3) = 16 cdot 86 = 836 = 29 P(X=4) = 16 cdot 1624 = 16144 = 218 = 19
Vamos calcular cada para :

Passo 4

Para calcular a variância, precisamos primeiro encontrar a esperança matemática E[X] = sumk=1^4 k cdot P(X=k) = 1 cdot 13 + 2 cdot 13 + 3 cdot 29 + 4 cdot 19 e E[X] = 13 + 23 + 69 + 49 = 33 + 109 = 1 + 11 = 21 .
Calculando E[X^2] = sumk=1^4 k^2 cdot P(X=k) = 1^2 cdot 13 + 2^2 cdot 13 + 3^2 cdot 29 + 4^2 cdot 19 :
E[X^2] = 13 + 43 + 189 + 169 = 53 + 349 = 159 + 349 = 499 approx 5.444
Calculando :

Passo 5

Agora, a variância Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 é dada por:
Var(X) = 499 - (199)^2 = 499 - 36181 = 441 - 36181 = 8081 approx 0.9877
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A variabilidade da demanda é aproximadamente .

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