1. Uma máquina produz determinado artigo; no fim de cada dia de trabalho ela é inspecionada com a finalidade de se verificar a necessidade, ou não, de ser submetida a ajuste ou reparo. Para tal fim, um inspetor toma uma amostra de 10 itens produzidos pela máquina, decidindo por ajuste ao assinalar de um a cinco itens defeituosos, e por reparo, no caso de mais de cinco itens defeituosos. Se a máquina está produzindo, em média, 1 % de itens defeituosos, determinar a probabilidade, após uma inspeção:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma máquina que produz artigos com uma taxa de defeito de 1%. No final do dia, um inspetor verifica 10 itens dessa produção. Se ele encontrar entre 1 e 5 itens defeituosos, decide fazer um ajuste na máquina. Se encontrar mais de 5 defeitos, decide fazer um reparo. Nosso objetivo é calcular a probabilidade de cada uma dessas decisões após uma inspeção.

Passo 2

Para resolver esse problema, vamos usar a Distribuição Binomial. Isso porque estamos lidando com uma sequência de testes independentes (cada item produzido pode ou não ser defeituoso) com duas possibilidades de resultado (defeituoso ou não) e uma probabilidade constante de sucesso (defeito) em cada teste.
A fórmula da distribuição binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • n é o número total de testes (neste caso, 10 itens),
  • k é o número de sucessos (itens defeituosos),
  • p é a probabilidade de sucesso em cada teste (1%, ou 0.01),
  • binomnk é o coeficiente binomial, que calcula as combinações possíveis.

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade de o inspetor decidir por um ajuste, ou seja, encontrar entre 1 e 5 itens defeituosos.
Isso significa que precisamos somar as probabilidades de encontrar 1, 2, 3, 4 e 5 defeitos:
P(1 <= X <= 5) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)
Vamos calcular cada termo usando a fórmula da distribuição binomial.

Passo 4

Calculando cada probabilidade individualmente:
  1. Para k=1:
P(X=1) = binom101 (0.01)^1 (0.99)^9 = 10 times 0.01 times 0.913517 = 0.0913517
  1. Para k=2:
P(X=2) = binom102 (0.01)^2 (0.99)^8 = 45 times 0.0001 times 0.922744 = 0.00415248
  1. Para k=3:
P(X=3) = binom103 (0.01)^3 (0.99)^7 = 120 times 0.000001 times 0.932065 = 0.0001118
  1. Para k=4:
P(X=4) = binom104 (0.01)^4 (0.99)^6 = 210 times 0.00000001 times 0.941480 = 0.00000198
  1. Para k=5:
P(X=5) = binom105 (0.01)^5 (0.99)^5 = 252 times 0.0000000001 times 0.950990 = 0.000000024

Passo 5

Agora, somamos todas essas probabilidades para obter P(1 <= X <= 5):
P(1 <= X <= 5) = 0.0913517 + 0.00415248 + 0.0001118 + 0.00000198 + 0.000000024 approx 0.095617

Passo 6

Em seguida, vamos calcular a probabilidade de o inspetor decidir por um reparo, ou seja, encontrar mais de 5 itens defeituosos ( k > 5).
Assim, precisamos somar as probabilidades de encontrar 6, 7, 8, 9 e 10 defeitos:
P(X > 5) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) + P(X=9) + P(X=10)
Vamos calcular cada termo.

Passo 7

Calculando cada probabilidade individualmente:
  1. Para k=6:
P(X=6) = binom106 (0.01)^6 (0.99)^4 = 210 times 0.0000000001 times 0.960596 = 0.0000000202
  1. Para k=7:
P(X=7) = binom107 (0.01)^7 (0.99)^3 = 120 times 0.000000001 times 0.970299 = 0.000000116
  1. Para k=8:
P(X=8) = binom108 (0.01)^8 (0.99)^2 = 45 times 0.00000000001 times 0.9801 = 0.000000000441
  1. Para k=9:
P(X=9) = binom109 (0.01)^9 (0.99)^1 = 10 times 0.000000000001 times 0.99 = 0.0000000000099
  1. Para k=10:
P(X=10) = binom1010 (0.01)^10 (0.99)^0 = 1 times 0.0000000000001 times 1 = 0.0000000000001

Passo 8

Somando todas essas probabilidades para obter P(X > 5):
P(X > 5) = 0.0000000202 + 0.000000116 + 0.000000000441 + 0.0000000000099 + 0.0000000000001 approx 0.000000136

Resposta

A probabilidade de o inspetor decidir por um ajuste é aproximadamente 9.56%, e a probabilidade de decidir por um reparo é aproximadamente 0.0000136%.

Exercícios relacionados