1. Uma máquina produz determinado artigo; no fim de cada dia de trabalho ela é inspecionada com a finalidade de se verificar a necessidade, ou não, de ser submetida a ajuste ou reparo. Para tal fim, um inspetor toma uma amostra de 10 itens produzidos pela máquina, decidindo por ajuste ao assinalar de um a cinco itens defeituosos, e por reparo, no caso de mais de cinco itens defeituosos. Se a máquina está produzindo, em média, de itens defeituosos, determinar a probabilidade, após uma inspeção:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma máquina que produz artigos com uma taxa de defeito de . No final do dia, um inspetor verifica 10 itens dessa produção. Se ele encontrar entre 1 e 5 itens defeituosos, decide fazer um ajuste na máquina. Se encontrar mais de 5 defeitos, decide fazer um reparo. Nosso objetivo é calcular a probabilidade de cada uma dessas decisões após uma inspeção.

Passo 2

Para resolver esse problema, vamos usar a Distribuição Binomial. Isso porque estamos lidando com uma sequência de testes independentes (cada item produzido pode ou não ser defeituoso) com duas possibilidades de resultado (defeituoso ou não) e uma probabilidade constante de sucesso (defeito) em cada teste.
A fórmula da distribuição binomial é:
Onde:
  • é o número total de testes (neste caso, 10 itens),
  • é o número de sucessos (itens defeituosos),
  • é a probabilidade de sucesso em cada teste (1%, ou 0.01),
  • é o coeficiente binomial, que calcula as combinações possíveis.

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade de o inspetor decidir por um ajuste, ou seja, encontrar entre 1 e 5 itens defeituosos.
Isso significa que precisamos somar as probabilidades de encontrar 1, 2, 3, 4 e 5 defeitos:
Vamos calcular cada termo usando a fórmula da distribuição binomial.

Passo 4

Calculando cada probabilidade individualmente:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 5

Agora, somamos todas essas probabilidades para obter :

Passo 6

Em seguida, vamos calcular a probabilidade de o inspetor decidir por um reparo, ou seja, encontrar mais de 5 itens defeituosos ( ).
Assim, precisamos somar as probabilidades de encontrar 6, 7, 8, 9 e 10 defeitos:
Vamos calcular cada termo.

Passo 7

Calculando cada probabilidade individualmente:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 8

Somando todas essas probabilidades para obter :

Resposta

A probabilidade de o inspetor decidir por um ajuste é aproximadamente , e a probabilidade de decidir por um reparo é aproximadamente .

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, para .
c) Qual é a variabilidade da demanda?
Exercício 6. Tem-se duas fórmulas distintas para estimar um parâmetro populacional . Para ajudar a escolher a melhor, simulou-se uma situação em que . Dessa população retiraramse 1.000 amostras de dez unidades cada uma, e aplicaram-se ambas as fórmulas às dez unidades de cada amostra. Desse modo, obtêm-se 1.000 valores para a primeira fórmula e outros 1.000 valores para a segunda fórmula , cujos estudos descritivos estão resumidos abaixo.
Fórmula 1 Fórmula 2
Mediana Mediana
Qual das duas fórmulas você acha mais conveniente para estimar ? Por quê?
N. de avarias 0 1 2 3 4 5
Frequências 53 68 44 17 16 2
(a) Faça a representação gráfica das frequências relativas e das frequências relativas acumuladas.
(b) Calcule a média, o desvio padrão e a moda.
29,9 40,2 37,8 19,7 30,0 29,7 19,4 39,2 24,7 20,4
19,1 34,7 33,5 18,3 19,4 27,3 38,2 16,2 36,8 33,1
41,4 13,6 32,2 24,3 19,1 37,4 23,8 33,3 31,6 20,1
17,2 13,3 37,7 12,6 39,6 24,6 18,6 18,0 33,7 38,2
(a) Ordene os dados e calcule a média, mediana, desvio padrão, quartis e o quantil de ordem . Encontre um valor tal que dos bebés observados tenham comprimentos superiores a esse valor.
(b) Faça um agrupamento dos dados em classes, de forma conveniente, e represente-os graficamente através de um histograma.
© Calcule a média, a mediana e variância para os dados agrupados. Compare estes valores aproximados com os correspondentes valores exatos obtidos no primeiro item.