- Uma máquina produz determinado artigo; no fim de cada dia de trabalho ela é inspecionada com a finalidade de se verificar a necessidade, ou não, de ser submetida a ajuste ou reparo. Para tal fim, um inspetor toma uma amostra de 10 itens produzidos pela máquina, decidindo por ajuste ao assinalar de um a cinco itens defeituosos, e por reparo, no caso de mais de cinco itens defeituosos. Se a máquina está produzindo, em média,
de itens defeituosos, determinar a probabilidade, após uma inspeção:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma máquina que produz artigos com uma taxa de defeito de
. No final do dia, um inspetor verifica 10 itens dessa produção. Se ele encontrar entre 1 e 5 itens defeituosos, decide fazer um ajuste na máquina. Se encontrar mais de 5 defeitos, decide fazer um reparo. Nosso objetivo é calcular a probabilidade de cada uma dessas decisões após uma inspeção.
Passo 2
Para resolver esse problema, vamos usar a Distribuição Binomial. Isso porque estamos lidando com uma sequência de testes independentes (cada item produzido pode ou não ser defeituoso) com duas possibilidades de resultado (defeituoso ou não) e uma probabilidade constante de sucesso (defeito) em cada teste.
A fórmula da distribuição binomial é:
Onde:
-
é o número total de testes (neste caso, 10 itens), -
é o número de sucessos (itens defeituosos), -
é a probabilidade de sucesso em cada teste (1%, ou 0.01), -
é o coeficiente binomial, que calcula as combinações possíveis.
Passo 3
Vamos calcular a probabilidade de o inspetor decidir por um ajuste, ou seja, encontrar entre 1 e 5 itens defeituosos.
Isso significa que precisamos somar as probabilidades de encontrar 1, 2, 3, 4 e 5 defeitos:
Vamos calcular cada termo usando a fórmula da distribuição binomial.
Passo 4
Calculando cada probabilidade individualmente:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Agora, somamos todas essas probabilidades para obter
:
Passo 6
Em seguida, vamos calcular a probabilidade de o inspetor decidir por um reparo, ou seja, encontrar mais de 5 itens defeituosos (
).
Assim, precisamos somar as probabilidades de encontrar 6, 7, 8, 9 e 10 defeitos:
Vamos calcular cada termo.
Passo 7
Calculando cada probabilidade individualmente:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 8
Somando todas essas probabilidades para obter
:
Resposta
A probabilidade de o inspetor decidir por um ajuste é aproximadamente
, e a probabilidade de decidir por um reparo é aproximadamente
.