Um avião tem uma massa total de 220000 kg e a área total coberta pelas suas asas é de 700 m^2. Este avião é projetado para decolar quando a velocidade de escoamento acima das asas é 1,30 vezes maior do que abaixo delas. Se a densidade da atmosfera no nível do mar é aproximadamente 1,30 kg / m^3, qual é a velocidade mínima de escoamento acima das asas é necessária para que o avião decole? Na cidade do México, que tem uma altitude de 2240 m acima do nível do mar, a densidade do ar é aproximadamente 0,96 kg / m^3. Lá o avião deve ter uma velocidade maior ou menor do que ao nível do mar para decolar?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um avião com massa total de 220.000 kg e área das asas de . Queremos descobrir a velocidade mínima do escoamento de ar acima das asas necessária para que o avião decole, sabendo que essa velocidade é 1,30 vezes maior do que a velocidade abaixo das asas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de aerodinâmica, especificamente a força de sustentação e a equação de Bernoulli.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a força de sustentação necessária para equilibrar o peso do avião. A força de sustentação ( P = m cdot g ) deve ser igual ao peso ( P = 220.000 times 9,81 = 2.158.200 , N ) do avião para que ele possa decolar. A fórmula para calcular o peso é:
Onde:
  • é a massa do avião.
  • é a aceleração da gravidade.
Calculando:

Passo 3

A força de sustentação também pode ser expressa pela diferença de pressão ( L = De) entre a parte superior e inferior das asas, multiplicada pela área das asas ( De):
Rearranjando para encontrar :

Passo 4

Agora, usamos a equação de Bernoulli para relacionar a diferença de pressão com as velocidades do escoamento de ar. A equação é:
De
Sabemos que De. Vamos chamar , então .
Substituindo:

Passo 5

Igualamos as duas expressões para 0,345 rho V^2 = 3.083 :
V^2 = 3.0830,345 rho
Resolvendo para :

Passo 6

No nível do mar, a densidade do ar é V^2 = 3.0830,345 times 1,30 = 3.0830,4485 approx 6.870 :
V = raiz6.870 approx 2,62 , m/s
V^2 = 3.0830,345 times 1,30 = 3.0830,4485 approx 6.872 times 10^3 , m^2/s^2
Mas, percebemos que houve um erro na unidade. Na verdade, precisamos ajustar os cálculos:
V = raiz6.872 times 10^3 approx 82,9 , m/s

Passo 7

Portanto, a velocidade mínima do escoamento de ar acima das asas necessária para que o avião decole é aproximadamente .

Passo 8

Agora, vamos considerar a altitude da Cidade do México, onde a densidade do ar é V^2 = 3.0830,345 times 0,96 = 3.0830,3312 approx 9.304 times 10^3 , m^2/s^2 . Usando a mesma fórmula:
V = raiz9.304 times 10^3 approx 96,4 , m/s

Resposta

A velocidade mínima de escoamento acima das asas para que o avião decole é aproximadamente ao nível do mar. Na Cidade do México, devido à menor densidade do ar, o avião precisa atingir uma velocidade maior, cerca de , para conseguir decolar.

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