b) Determine a anti-transformada de Laplace da função F(S)=(s^2-4) /(s(s+2)^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar a anti-transformada de Laplace da função . Esse exercício está na área de Transformadas de Laplace, uma ferramenta importante em matemática aplicada, especialmente em sistemas e controle. Para resolver, vamos precisar entender como decompor frações parciais e aplicar as tabelas de transformadas inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função . Temos . Podemos fazer uma divisão polinomial ou decompor em frações parciais. Vamos optar pela fração parcial porque facilita encontrar a anti-transformada.

Passo 3

Vamos escrever s^2 - 4s(s+2)^2 = As + Bs+2 + C(s+2)^2 como soma de frações parciais:
s^2 - 4 = A(s+2)^2 + Bs(s+2) + Cs
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 4

Agora, vamos expandir e igualar os coeficientes. Primeiro, expandindo A(s^2 + 4s + 4) = A s^2 + 4A s + 4A :
B s^2 + 2B s
Expandindo s^2 - 4 = (A + B)s^2 + (4A + 2B + C)s + 4A :
E permanece .
Então, temos:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
  1. Para A + B = 1 :
4A + 2B + C = 0
  1. Para 4A = -4 :
  1. Para o termo constante:

Passo 6

Resolvendo as equações:
Da terceira equação:
4A = -4 Rightarrow A = -1
Substituindo -1 + B = 1 Rightarrow B = 2 na primeira equação:
4(-1) + 2(2) + C = 0 Rightarrow -4 + 4 + C = 0 Rightarrow C = 0
Substituindo e na segunda equação:

Passo 7

Agora que temos os valores de A, B e C, a decomposição fica:
s^2 - 4s(s+2)^2 = -1s + 2s+2

Passo 8

Finalmente, aplicamos a anti-transformada de Laplace em cada termo separadamente. Sabemos que:
L^-11s = 1
L^-11s+a = e^-at
Aplicando isso:
L^-1-1s = -1
L^-12s+2 = 2 e^-2t

Resposta

A anti-transformada de Laplace da função f(t) = -1 + 2 e^-2t é:

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