b) Determine a anti-transformada de Laplace da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar a anti-transformada de Laplace da função
. Esse exercício está na área de Transformadas de Laplace, uma ferramenta importante em matemática aplicada, especialmente em sistemas e controle. Para resolver, vamos precisar entender como decompor frações parciais e aplicar as tabelas de transformadas inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
. Temos
. Podemos fazer uma divisão polinomial ou decompor em frações parciais. Vamos optar pela fração parcial porque facilita encontrar a anti-transformada.
Passo 3
Vamos escrever
como soma de frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 4
Agora, vamos expandir e igualar os coeficientes. Primeiro, expandindo
:
Expandindo
:
E
permanece
.
Então, temos:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
- Para
:
- Para
:
- Para o termo constante:
Passo 6
Resolvendo as equações:
Da terceira equação:
Substituindo
na primeira equação:
Substituindo
e
na segunda equação:
Passo 7
Agora que temos os valores de A, B e C, a decomposição fica:
Passo 8
Finalmente, aplicamos a anti-transformada de Laplace em cada termo separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso:
Resposta
A anti-transformada de Laplace da função
é: