a) Determine a transformada de Laplace da função:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformada de Laplace da função . Isso envolve conhecimentos de transformada de Laplace, funções exponenciais, cossenos e a função de Heaviside . Vamos precisar usar as propriedades da transformada de Laplace e algumas fórmulas básicas para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos transformando. A função é composta por duas partes: uma constante multiplicada por e tudo isso é multiplicado pela função de Heaviside , que basicamente indica que a função está definida para .

Passo 3

Vamos usar a linearidade da transformada de Laplace. Isso significa que podemos separar a transformada da soma em uma soma das transformadas. Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos transformar cada parte separadamente. A transformada de Laplace de uma constante é bem conhecida:

Passo 5

Para a segunda parte , vamos usar uma identidade trigonométrica para expandir o cosseno:
Sabemos que e , então:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão original:

Passo 7

Agora, aplicamos a transformada de Laplace a cada termo. Sabemos que:
No nosso caso, e , então:

Passo 8

Substituindo de volta na nossa expressão:
Podemos combinar os termos:

Passo 9

Voltando à expressão original da transformada de :

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

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b) Determine a anti-transformada de Laplace da função
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Assinale a alternativa correta em relação ao assunto.
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Resposta: