a) Determine a transformada de Laplace da função: V(t)=10(1-e^-2 t cos (t+60^circ)) H(t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformada de Laplace da função . Isso envolve conhecimentos de transformada de Laplace, funções exponenciais, cossenos e a função de Heaviside . Vamos precisar usar as propriedades da transformada de Laplace e algumas fórmulas básicas para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos transformando. A função é composta por duas partes: uma constante multiplicada por e tudo isso é multiplicado pela função de Heaviside , que basicamente indica que a função está definida para .

Passo 3

Vamos usar a linearidade da transformada de Laplace. Isso significa que podemos separar a transformada da soma em uma soma das transformadas. Então, temos:
LV(t) = 10 ( L1 - Le^-2t cos(t + 60^circ )

Passo 4

Agora, vamos transformar cada parte separadamente. A transformada de Laplace de uma constante L1 = 1s é bem conhecida:

Passo 5

Para a segunda parte cos(t + 60^circ) = cos(t) cos(60^circ) - sin(t) sin(60^circ) , vamos usar uma identidade trigonométrica para expandir o cosseno:
cos(t + 60^circ) = 12 cos(t) - raiz32 sin(t)
Sabemos que e , então:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão original:
e^-2t cos(t + 60^circ) = e^-2t ( 12 cos(t) - raiz32 sin(t) ) = 12 e^-2t cos(t) - raiz32 e^-2t sin(t)

Passo 7

Agora, aplicamos a transformada de Laplace a cada termo. Sabemos que:
Le^-at cos(bt) = s + a(s + a)^2 + b^2
Le^-at sin(bt) = b(s + a)^2 + b^2
No nosso caso, Le^-2t cos(t) = s + 2(s + 2)^2 + 1 e Le^-2t sin(t) = 1(s + 2)^2 + 1 , então:

Passo 8

Substituindo de volta na nossa expressão:
Le^-2t cos(t + 60^circ) = 12 cdot s + 2(s + 2)^2 + 1 - raiz32 cdot 1(s + 2)^2 + 1
Podemos combinar os termos:
= (s + 2) - raiz32 ( (s + 2)^2 + 1 )

Passo 9

Voltando à expressão original da transformada de LV(t) = 10 ( 1s - (s + 2) - raiz32 ( (s + 2)^2 + 1 ) ) :

Resposta

A transformada de Laplace da função LV(t) = 10 ( 1s - (s + 2) - raiz32 ( (s + 2)^2 + 1 ) ) é:

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