a) Determine a transformada de Laplace da função:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformada de Laplace da função
. Isso envolve conhecimentos de transformada de Laplace, funções exponenciais, cossenos e a função de Heaviside
. Vamos precisar usar as propriedades da transformada de Laplace e algumas fórmulas básicas para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos transformando. A função
é composta por duas partes: uma constante
multiplicada por
e tudo isso é multiplicado pela função de Heaviside
, que basicamente indica que a função está definida para
.
Passo 3
Vamos usar a linearidade da transformada de Laplace. Isso significa que podemos separar a transformada da soma em uma soma das transformadas. Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos transformar cada parte separadamente. A transformada de Laplace de uma constante
é bem conhecida:
Passo 5
Para a segunda parte
, vamos usar uma identidade trigonométrica para expandir o cosseno:
Sabemos que
e
, então:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão original:
Passo 7
Agora, aplicamos a transformada de Laplace a cada termo. Sabemos que:
No nosso caso,
e
, então:
Passo 8
Substituindo de volta na nossa expressão:
Podemos combinar os termos:
Passo 9
Voltando à expressão original da transformada de
:
Resposta
A transformada de Laplace da função
é: