(b) Escreva a funcão de onda completa para o estado fundamental do He.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão de escrever a função de onda completa para o estado fundamental do hélio (He). Aqui, estamos lidando com a matéria de mecânica quântica, especificamente com a função de onda de átomos com mais de um elétron. Para resolver isso, vamos precisar entender como os elétrons interagem e como representamos suas funções de onda combinadas.

Passo 2

Primeiro, o estado fundamental do hélio significa que os dois elétrons estão na menor energia possível, ou seja, no orbital . A função de onda de um elétron no orbital é geralmente representada por , onde é a posição do elétron.

Passo 3

Como temos dois elétrons, precisamos considerar a função de onda para ambos. Inicialmente, podemos pensar em simplesmente multiplicar as funções de onda individuais:
psi1s(r1) cdot psi1s(r2)
Aqui, e são as posições dos elétrons 1 e 2, respectivamente.

Passo 4

No entanto, como os elétrons são férmions (partículas que obedecem ao princípio de exclusão de Pauli), a função de onda total precisa ser antissimétrica em relação à troca dos dois elétrons. Isso significa que se trocarmos com , a função de onda deve mudar de sinal.

Passo 5

Para garantir essa antissimetria, combinamos a parte espacial da função de onda com a parte de spin. A parte de spin para dois elétrons pode formar um estado singlete, que é antisímico:
chising<=t(s1, s2) = 1raiz2 [ alpha(s1)beta(s2) - beta(s1)alpha(s2) ]
Aqui, e representam os estados de spin “para cima” e “para baixo”, respectivamente.

Passo 6

Então, a função de onda completa combina a parte espacial simétrica com a parte de spin antisímica:
Psi(r1, r2; s1, s2) = psi1s(r1) cdot psi1s(r2) cdot chising<=t(s1, s2)
Isso garante que a função de onda total seja antisímica, conforme exigido pelo princípio de exclusão de Pauli.

Resposta

A função de onda completa para o estado fundamental do hélio é:
Psi(r1, r2; s1, s2) = psi1s(r1) cdot psi1s(r2) cdot 1raiz2 [ alpha(s1)beta(s2) - beta(s1)alpha(s2) ]

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