(b) Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da função
.
Passo 1
Beleza, vamos por partes! O enunciado pede para a gente fazer o gráfico da função
. Isso está dentro do conteúdo de Funções na matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender como essa função se comporta, encontrar alguns pontos chave e ver como ela se comporta quando
vai para valores específicos, como zero ou infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Essa é uma função exponencial onde a base é
e o expoente é
. Para plotar o gráfico, precisamos achar alguns valores de
para diferentes
.
Passo 3
Vamos escolher alguns valores de
e calcular
:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Aqui precisamos ter cuidado porqueresulta em uma indeterminação . Vamos pensar no limite quando se aproxima de 0.
Passo 4
Vamos analisar o limite da função quando
se aproxima de 0. Usamos a fórmula:
Isso significa que, quando
fica bem próximo de 0,
se aproxima de
(onde
).
Passo 5
Também é interessante ver o que acontece quando
vai para infinito positivo e negativo.
-
Quando
: Então,se aproxima de 1. -
Quando
:
Sese aproxima de -1, se aproxima de 0, e dependendo do lado, a função pode se comportar de forma diferente. Mas para simplificar, vamos focar nos valores onde a função está bem definida.
Passo 6
Com esses pontos e comportamentos, já temos uma ideia de como o gráfico se parece:
- Passa por (1, 2), (2, ~1,732), (-0,5, 4)
- Aproxima-se de
quando está perto de 0 - Aproxima-se de 1 quando
vai para infinito
Passo 7
Agora, vamos desenhar o gráfico com base nesses pontos e comportamentos:
- Marque os pontos que calculamos.
- Desenhe uma curva que passa por esses pontos e segue as tendências observadas.
- Indique que há uma assíntota horizontal em
quando vai para infinito.
Resposta
O gráfico da função
passa pelos pontos (1, 2), (2, aproximadamente 1,732) e (-0,5, 4). Quando
se aproxima de 0,
se aproxima de
(~2,718) e quando
vai para infinito,
se aproxima de 1. Com base nisso, o gráfico tem uma curva que passa por esses pontos e se aproxima das assíntotas mencionadas.