(b) Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da função y = (1+x)^(1/x).

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O enunciado pede para a gente fazer o gráfico da função . Isso está dentro do conteúdo de Funções na matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender como essa função se comporta, encontrar alguns pontos chave e ver como ela se comporta quando vai para valores específicos, como zero ou infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Essa é uma função exponencial onde a base é e o expoente é . Para plotar o gráfico, precisamos achar alguns valores de para diferentes .

Passo 3

Vamos escolher alguns valores de e calcular :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
    Aqui precisamos ter cuidado porque resulta em uma indeterminação . Vamos pensar no limite quando se aproxima de 0.

Passo 4

Vamos analisar o limite da função quando se aproxima de 0. Usamos a fórmula:
Isso significa que, quando fica bem próximo de 0, se aproxima de (onde ).

Passo 5

Também é interessante ver o que acontece quando vai para infinito positivo e negativo.
  • Quando :
    Então, se aproxima de 1.
  • Quando :
    Se se aproxima de -1, se aproxima de 0, e dependendo do lado, a função pode se comportar de forma diferente. Mas para simplificar, vamos focar nos valores onde a função está bem definida.

Passo 6

Com esses pontos e comportamentos, já temos uma ideia de como o gráfico se parece:
  • Passa por (1, 2), (2, ~1,732), (-0,5, 4)
  • Aproxima-se de quando está perto de 0
  • Aproxima-se de 1 quando vai para infinito

Passo 7

Agora, vamos desenhar o gráfico com base nesses pontos e comportamentos:
  1. Marque os pontos que calculamos.
  2. Desenhe uma curva que passa por esses pontos e segue as tendências observadas.
  3. Indique que há uma assíntota horizontal em quando vai para infinito.

Resposta

O gráfico da função passa pelos pontos (1, 2), (2, aproximadamente 1,732) e (-0,5, 4). Quando se aproxima de 0, se aproxima de (~2,718) e quando vai para infinito, se aproxima de 1. Com base nisso, o gráfico tem uma curva que passa por esses pontos e se aproxima das assíntotas mencionadas.

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