Esboce o gráfico da função e use-o para determinar os valores de a para os quais lim x a f(x) existe:
11. f(x)= 1+x & se x<-1 x^2 & se -1 <= x<1 2-x & se x >= 1

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve limites de funções. O enunciado pede para esboçar o gráfico de uma função definida por partes e, usando esse gráfico, determinar os valores de para os quais o limite existe. Para isso, vamos precisar entender como funções por partes funcionam e como calcular limites laterais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função dada:
f(x) = 1 + x & se x < -1 x^2 & se -1 <= x < 1 2 - x & se x >= 1
Essa é uma função definida por três partes, cada uma válida em um intervalo específico de .

Passo 3

Vamos esboçar o gráfico de para visualizar melhor. Para cada intervalo:
  1. Para : A função é , que é uma reta crescente.
  2. Para : A função é , que é uma parábola voltada para cima.
  3. Para : A função é , que é uma reta decrescente.

Passo 4

Agora, vamos identificar os pontos onde a definição da função muda, que são e . Nesses pontos, precisamos verificar se o limite à esquerda é igual ao limite à direita para que o limite exista.

Passo 5

No ponto limx -1^- f(x) = limx -1^- (1 + x) = 1 + (-1) = 0 :
  • Lado esquerdo ( limx -1^+ f(x) = limx -1^+ x^2 = (-1)^2 = 1 ):
  • Lado direito ( ):
Como , o limite não existe em .

Passo 6

No ponto limx 1^- f(x) = limx 1^- x^2 = (1)^2 = 1 :
  • Lado esquerdo ( limx 1^+ f(x) = limx 1^+ (2 - x) = 2 - 1 = 1 ):
  • Lado direito ( ):
Como , o limite existe em .

Passo 7

Para todos os outros valores de , a função é definida por uma única expressão em torno de , então o limite existe e é igual a .

Resposta

O limite existe para todo valor real de exceto quando .

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