B) Quantas soluções inteiras não negativas possui a equação
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação
e precisa descobrir quantas soluções inteiras não negativas ela possui. Isso faz parte da matéria de Combinatória, mais especificamente do conceito de “arranjos com repetição”. Para resolver isso, vamos usar a técnica chamada de “Stars and Bars” (Estrelas e Barras).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma solução inteira não negativa. Queremos encontrar valores de
,
e
que sejam números inteiros iguais ou maiores que zero e que, quando somados, dão 5.
Passo 3
A técnica de Stars and Bars nos ajuda a calcular o número de maneiras de distribuir
itens (no caso, o número 5) em
categorias (as variáveis
,
e
). A fórmula para isso é:
Aqui,
e
.
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 5
Agora, vamos calcular
, que é o número de combinações de 7 elementos tomados 2 a 2:
Resposta
A equação
possui 21 soluções inteiras não negativas.
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