B) Quantas soluções inteiras não negativas possui a equação x+y+z=5 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação e precisa descobrir quantas soluções inteiras não negativas ela possui. Isso faz parte da matéria de Combinatória, mais especificamente do conceito de “arranjos com repetição”. Para resolver isso, vamos usar a técnica chamada de “Stars and Bars” (Estrelas e Barras).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma solução inteira não negativa. Queremos encontrar valores de , e que sejam números inteiros iguais ou maiores que zero e que, quando somados, dão 5.

Passo 3

A técnica de Stars and Bars nos ajuda a calcular o número de maneiras de distribuir binomn + k - 1k - 1 itens (no caso, o número 5) em categorias (as variáveis , e ). A fórmula para isso é:
Aqui, e .

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
binom5 + 3 - 13 - 1 = binom72

Passo 5

Agora, vamos calcular binom72 = 7!2!(7-2)! = 7 times 62 times 1 = 21 , que é o número de combinações de 7 elementos tomados 2 a 2:

Resposta

A equação possui 21 soluções inteiras não negativas.

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