Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 matemáticos. De quantas formas podemos formar comissões de 10 pessoas de modo que:
Todos os matemáticos participem das comissões?

Passo 1

Vamos lá! O problema fala sobre formar comissões de 10 pessoas a partir de um grupo de 20, onde 5 dessas 20 são matemáticos. A gente precisa descobrir de quantas maneiras podemos formar essas comissões garantindo que todos os 5 matemáticos estejam incluídos. Para resolver isso, vamos usar combinações, que é um conceito de probabilidades e contagem. Vamos precisar entender como calcular combinações quando temos que incluir certos elementos obrigatórios.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no que significa formar uma comissão de 10 pessoas com todos os 5 matemáticos. Se já estamos incluindo os 5 matemáticos, então precisamos escolher as outras 5 pessoas das que sobraram no grupo.
Total de pessoas no grupo: 20
Matemáticos no grupo: 5
Pessoas que não são matemáticos: 20 - 5 = 15

Passo 3

Então, já temos 5 lugares ocupados pelos matemáticos. Agora, precisamos escolher mais 5 pessoas das 15 que não são matemáticos para completar a comissão de 10 pessoas.

Passo 4

Para calcular de quantas formas podemos escolher essas 5 pessoas, usamos a fórmula de combinação, que é:
Aqui, é o total de opções disponíveis (no caso, 15), e é o número de escolhas que precisamos fazer (no caso, 5).

Passo 5

Aplicando os valores na fórmula:
Isso nos dá o número de maneiras de escolher 5 pessoas entre as 15 não matemáticas.

Passo 6

Calculando o valor:
Então, existem 3.003 maneiras diferentes de formar uma comissão de 10 pessoas que inclui todos os 5 matemáticos.

Resposta

3.003 formas de formar as comissões de 10 pessoas garantindo que todos os 5 matemáticos participem.

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Simplifique:
Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 matemáticos. De quantas formas podemos formar comissões de 10 pessoas de modo que:
Nenhum membro seja matemático?
B) Quantas soluções inteiras não negativas possui a equação ?