Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 matemáticos. De quantas formas podemos formar comissões de 10 pessoas de modo que:
Haja exatamente um matemático na comissão

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um grupo de 20 pessoas, das quais 5 são matemáticos. A missão é formar comissões de 10 pessoas de modo que exatamente um dos membros seja matemático. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de combinações, que é uma ferramenta da probabilidade e contagem para determinar de quantas maneiras podemos escolher um subconjunto de itens a partir de um conjunto maior.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar nos matemáticos. Temos que escolher exatamente um matemático para a comissão. Como temos 5 matemáticos no total, precisamos calcular de quantas maneiras podemos escolher 1 deles. Isso é uma combinação simples, onde usamos a fórmula:
Aqui, (o total de matemáticos) e (o número de matemáticos que queremos na comissão). Então:
Ou seja, existem 5 maneiras de escolher 1 matemático.

Passo 3

Agora, precisamos escolher as demais pessoas para completar a comissão de 10 integrantes. Já escolhemos 1 matemático, então faltam 9 pessoas para serem escolhidas entre os 15 não matemáticos restantes (já que 20 - 5 = 15).
Mais uma vez, usamos combinações para determinar de quantas maneiras podemos escolher 9 pessoas dentre 15. Aplicando a fórmula:
Calculando isso, encontramos que:
Então, há 5.005 maneiras de escolher 9 pessoas entre os 15 não matemáticos.

Passo 4

Para encontrar o número total de comissões possíveis que atendem ao critério de ter exatamente um matemático, multiplicamos as duas combinações que calculamos:

Resposta

Existem 25.025 maneiras de formar uma comissão de 10 pessoas com exatamente um matemático.

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