É uma relação de equivalência?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma relação definida entre pares ordenados e . A relação diz que se, e somente se, . Nosso objetivo é verificar se essa relação é uma relação de equivalência. Para isso, precisamos entender as propriedades que definem uma relação de equivalência e aplicar cada uma delas a .

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a relação é reflexiva. Uma relação é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. Ou seja, precisamos verificar se para todo .
Calculando:
Como sempre, a relação é reflexiva.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a relação é simétrica. Isso significa que se , então também deve ser verdadeiro.
Suponha que , ou seja, .
Agora, para :
Como também dá zero, a relação é simétrica.

Passo 4

Por último, vamos verificar se a relação é transitiva. Isso quer dizer que se e , então deve ser verdadeiro.
Sabemos que:
Queremos mostrar que:
Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Agora, calculando :
Portanto, a relação é transitiva.

Resposta

Sim, é uma relação de equivalência porque ela é reflexiva, simétrica e transitiva.

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(f) Qual a condição necessária e suficiente para que um número seja primo?
a)
b)
  • Se e são inteiros e onde , então
a) ( ) A relação de igualdade sobre é uma relação de equivalência.
b) ( ) A relação de igualdade sobre é uma relação de ordem.
c) ( ) A relação de paralelismo definida para retas de uma espaço euclidiano é uma relação de ordem.
d) ( ) A relação de divisibilidade é uma relação de equivalência.
e) ( ) A relação de divisibilidade é uma relação de ordem.
f)()A relação de congruência é uma relação de equivalência.
g) ( ) O conjunto é totalmente ordenado pela relação .