É uma relação de equivalência?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma relação
definida entre pares ordenados
e
. A relação diz que
se, e somente se,
. Nosso objetivo é verificar se essa relação é uma relação de equivalência. Para isso, precisamos entender as propriedades que definem uma relação de equivalência e aplicar cada uma delas a
.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a relação é reflexiva. Uma relação é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. Ou seja, precisamos verificar se
para todo
.
Calculando:
Como
sempre, a relação é reflexiva.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a relação é simétrica. Isso significa que se
, então
também deve ser verdadeiro.
Suponha que
, ou seja,
.
Agora, para
:
Como também dá zero, a relação é simétrica.
Passo 4
Por último, vamos verificar se a relação é transitiva. Isso quer dizer que se
e
, então
deve ser verdadeiro.
Sabemos que:
Queremos mostrar que:
Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Agora, calculando
:
Portanto, a relação é transitiva.
Resposta
Sim,
é uma relação de equivalência porque ela é reflexiva, simétrica e transitiva.
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(b) O que diz o Teorema de Wilson?
© O que diz o Teorema de Fermat?
(d) O que diz o Teorema de Euler?
(e) O que diz o Teorema do Resto Chinês?.
(f) Qual a condição necessária e suficiente para que um número seja primo?
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(f) Qual a condição necessária e suficiente para que um número seja primo?
a)
b)
b)
- Se
e são inteiros e onde , então
a) ( ) A relação de igualdade sobre
é uma relação de equivalência.
b) ( ) A relação de igualdade sobre é uma relação de ordem.
c) ( ) A relação de paralelismo definida para retas de uma espaço euclidiano é uma relação de ordem.
d) ( ) A relação de divisibilidade é uma relação de equivalência.
e) ( ) A relação de divisibilidade é uma relação de ordem.
f)()A relação de congruência é uma relação de equivalência.
g) ( ) O conjunto é totalmente ordenado pela relação
.
b) ( ) A relação de igualdade sobre
c) ( ) A relação de paralelismo definida para retas de uma espaço
d) ( ) A relação de divisibilidade
e) ( ) A relação de divisibilidade
f)()A relação de congruência
g) ( ) O conjunto