a) ( ) A relação de igualdade sobre R é uma relação de equivalência.
b) ( ) A relação de igualdade sobre R é uma relação de ordem.
c) ( ) A relação de paralelismo definida para retas de uma espaço H euclidiano é uma relação de ordem.
d) ( ) A relação de divisibilidade x | y em Z é uma relação de equivalência.
e) ( ) A relação de divisibilidade x | y em Z é uma relação de ordem.
f)()A relação de congruência x ≡ y (mod 3) em Z é uma relação de equivalência.
g) ( ) O conjunto N é totalmente ordenado pela relação x | y.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício que você enviou. A gente precisa analisar várias relações matemáticas e ver se elas são relações de equivalência ou relações de ordem. Para isso, vamos lembrar o que cada uma dessas relações significa e quais propriedades elas precisam ter.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma relação de equivalência. Ela precisa satisfazer três propriedades:
  1. Reflexiva: Todo elemento está relacionado consigo mesmo.
  2. Simétrica: Se um elemento está relacionado com outro, então o segundo está relacionado com o primeiro.
  3. Transitiva: Se um elemento está relacionado com um segundo, e esse segundo com um terceiro, então o primeiro está relacionado com o terceiro.
Já uma relação de ordem pode ser de dois tipos:
  • Ordem parcial: Satisfaz reflexividade, antisimetricidade e transitividade.
  • Ordem total: Além das propriedades da ordem parcial, todo par de elementos é comparável.

Passo 3

Vamos analisar cada item:
a) A relação de igualdade sobre R é uma relação de equivalência.
  • Reflexiva: Sim, todo número é igual a si mesmo.
  • Simétrica: Sim, se , então .
  • Transitiva: Sim, se e , então .
  • Conclusão: Verdadeiro.
b) A relação de igualdade sobre R é uma relação de ordem.
  • Reflexiva: Sim.
  • Antissimétrica: Sim, porque se e , então .
  • Transitiva: Sim.
  • Ordem Total: Sim, todo par de números reais é comparável pela igualdade.
  • Conclusão: Verdadeiro.
c) A relação de paralelismo definida para retas de um espaço H euclidiano é uma relação de ordem.
  • Reflexiva: Sim, uma reta é paralela a si mesma.
  • Antissimétrica: Não, porque duas retas podem ser paralelas sem ser a mesma reta.
  • Transitiva: Sim.
  • Conclusão: Falso.
d) A relação de divisibilidade x | y em Z é uma relação de equivalência.
  • Reflexiva: Sim, qualquer número divide a si mesmo.
  • Simétrica: Não, se x divide y, não necessariamente y divide x.
  • Transitiva: Sim.
  • Conclusão: Falso.
e) A relação de divisibilidade x | y em Z é uma relação de ordem.
  • Reflexiva: Sim.
  • Antissimétrica: Sim, se x | y e , então ou x e y são iguais em módulo.
  • Transitiva: Sim.
  • Conclusão: Verdadeiro.
f) A relação de congruência em Z é uma relação de equivalência.
  • Reflexiva: Sim, qualquer número é congruente a si mesmo módulo 3.
  • Simétrica: Sim, se , então .
  • Transitiva: Sim, se e , então .
  • Conclusão: Verdadeiro.
g) O conjunto N é totalmente ordenado pela relação x | y.
  • Totalmente Ordenado: Significa que todo par de elementos são comparáveis.
  • Divisibilidade: Nem todo par de números naturais divide um ao outro. Por exemplo, 2 não divide 3 e 3 não divide 2.
  • Conclusão: Falso.

Resposta

a) Verdadeiro
b) Verdadeiro
c) Falso
d) Falso
e) Verdadeiro
f) Verdadeiro
g) Falso

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