a) ( ) A relação de igualdade sobre
é uma relação de equivalência.
b) ( ) A relação de igualdade sobre
é uma relação de ordem.
c) ( ) A relação de paralelismo definida para retas de uma espaço
euclidiano é uma relação de ordem.
d) ( ) A relação de divisibilidade
é uma relação de equivalência.
e) ( ) A relação de divisibilidade
é uma relação de ordem.
f)()A relação de congruência
é uma relação de equivalência.
g) ( ) O conjunto
é totalmente ordenado pela relação
.
b) ( ) A relação de igualdade sobre
c) ( ) A relação de paralelismo definida para retas de uma espaço
d) ( ) A relação de divisibilidade
e) ( ) A relação de divisibilidade
f)()A relação de congruência
g) ( ) O conjunto
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício que você enviou. A gente precisa analisar várias relações matemáticas e ver se elas são relações de equivalência ou relações de ordem. Para isso, vamos lembrar o que cada uma dessas relações significa e quais propriedades elas precisam ter.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma relação de equivalência. Ela precisa satisfazer três propriedades:
- Reflexiva: Todo elemento está relacionado consigo mesmo.
- Simétrica: Se um elemento está relacionado com outro, então o segundo está relacionado com o primeiro.
- Transitiva: Se um elemento está relacionado com um segundo, e esse segundo com um terceiro, então o primeiro está relacionado com o terceiro.
Já uma relação de ordem pode ser de dois tipos:
- Ordem parcial: Satisfaz reflexividade, antisimetricidade e transitividade.
- Ordem total: Além das propriedades da ordem parcial, todo par de elementos é comparável.
Passo 3
Vamos analisar cada item:
a) A relação de igualdade sobre
é uma relação de equivalência.
- Reflexiva: Sim, todo número é igual a si mesmo.
- Simétrica: Sim, se
, então . - Transitiva: Sim, se
e , então . - Conclusão: Verdadeiro.
b) A relação de igualdade sobre
é uma relação de ordem.
- Reflexiva: Sim.
- Antissimétrica: Sim, porque se
e , então . - Transitiva: Sim.
- Ordem Total: Sim, todo par de números reais é comparável pela igualdade.
- Conclusão: Verdadeiro.
c) A relação de paralelismo definida para retas de um espaço
euclidiano é uma relação de ordem.
- Reflexiva: Sim, uma reta é paralela a si mesma.
- Antissimétrica: Não, porque duas retas podem ser paralelas sem ser a mesma reta.
- Transitiva: Sim.
- Conclusão: Falso.
d) A relação de divisibilidade
em
é uma relação de equivalência.
- Reflexiva: Sim, qualquer número divide a si mesmo.
- Simétrica: Não, se
divide , não necessariamente divide . - Transitiva: Sim.
- Conclusão: Falso.
e) A relação de divisibilidade
em
é uma relação de ordem.
- Reflexiva: Sim.
- Antissimétrica: Sim, se
e , então ou e são iguais em módulo. - Transitiva: Sim.
- Conclusão: Verdadeiro.
f) A relação de congruência
em
é uma relação de equivalência.
- Reflexiva: Sim, qualquer número é congruente a si mesmo módulo 3.
- Simétrica: Sim, se
, então . - Transitiva: Sim, se
e , então . - Conclusão: Verdadeiro.
g) O conjunto
é totalmente ordenado pela relação
.
- Totalmente Ordenado: Significa que todo par de elementos são comparáveis.
- Divisibilidade: Nem todo par de números naturais divide um ao outro. Por exemplo, 2 não divide 3 e 3 não divide 2.
- Conclusão: Falso.
Resposta
a) Verdadeiro
b) Verdadeiro
c) Falso
d) Falso
e) Verdadeiro
f) Verdadeiro
g) Falso
b) Verdadeiro
c) Falso
d) Falso
e) Verdadeiro
f) Verdadeiro
g) Falso
Exercícios relacionados
- Se
e são inteiros e onde , então
É uma relação de equivalência?
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)
a) Escreva uma fórmula para
.
b) Verificar se a fórmula que você escreveu é válida para todo .
b) Verificar se a fórmula que você escreveu é válida para todo