Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício que tem várias partes (a até f). Ele aborda conceitos e teoremas de teoria dos números, como sistemas de congruências lineares, Teorema de Wilson, Teorema de Fermat, Teorema de Euler, Teorema do Resto Chinês e condições para um número ser primo. Para resolver, vamos precisar entender cada um desses conceitos e como eles se aplicam.
Passo 2
(a) O que é um sistema de congruência linear?
Um sistema de congruência linear é basicamente um conjunto de equações que envolvem congruências. Por exemplo, se temos duas equações como:
Isso significa que o número deixa resto 2 quando dividido por 3 e resto 3 quando dividido por 5 ao mesmo tempo. Resolver esse sistema é encontrar um valor de que satisfaça ambas as condições simultaneamente.
Passo 3
(b) O que diz o Teorema de Wilson?
O Teorema de Wilson afirma que um número natural é primo se e somente se:
Isso significa que o fatorial de , quando dividido por , deixa resto (ou seja, ). Esse teorema é uma condição necessária e suficiente para a primalidade de .
O Teorema de Fermat, também conhecido como Pequeno Teorema de Fermat, afirma que se é um número primo e é um inteiro que não é múltiplo de , então:
Isso quer dizer que elevado a resulta em um número que, quando dividido por , deixa resto 1. É uma ferramenta útil para testar a primalidade e em criptografia.
Passo 5
(d) O que diz o Teorema de Euler?
O Teorema de Euler generaliza o Teorema de Fermat. Ele afirma que se é um inteiro positivo e é um inteiro que é coprimo com (ou seja, ), então:
Aqui, é a função totiente de Euler, que conta quantos números até são coprimos com . Esse teorema é fundamental na criptografia RSA, por exemplo.
Passo 6
(e) O que diz o Teorema do Resto Chinês?
O Teorema do Resto Chinês (TRC) diz que se temos um sistema de congruências:
onde os módulos são pares a pares coprimos (ou seja, para ), então existe uma solução única para modulo . Isso facilita muito resolver sistemas de congruências quando os módulos são coprimos entre si.
Passo 7
(f) Qual a condição necessária e suficiente para que um número seja primo?
A condição necessária e suficiente para que um número seja primo é que ele tenha exatamente dois divisores positivos distintos: 1 e ele mesmo. Em termos de congruências, como no Teorema de Wilson, é uma condição equivalente para ser primo. Assim, é primo se e somente se nenhum número menor que divide além de 1.
Resposta
(a) Um sistema de congruência linear é um conjunto de equações de congruências que precisam ser satisfeitas simultaneamente.
(b) O Teorema de Wilson afirma que é primo se e somente se .
(d) O Teorema de Euler generaliza o teorema de Fermat, afirmando que se e são coprimos, então .
(e) O Teorema do Resto Chinês estabelece que um sistema de congruências com módulos coprimos tem uma solução única módulo , onde é o produto dos módulos.
(f) A condição necessária e suficiente para um número ser primo é que ele tenha exatamente dois divisores positivos distintos: 1 e .