Se A e B são dois eventos mutuamente exclusivos, com
e
, é possível que sejam independentes? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre dois eventos, A e B, que são mutuamente exclusivos, ou seja, eles não podem acontecer ao mesmo tempo. Além disso, sabemos que as probabilidades de cada um acontecer são maiores que zero. A pergunta é: será que esses dois eventos podem ser independentes ao mesmo tempo? Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa eventos mutuamente exclusivos e o que significa serem independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são eventos mutuamente exclusivos. Dois eventos são mutuamente exclusivos se eles não podem ocorrer juntos. Isso significa que a probabilidade de ambos acontecerem ao mesmo tempo,
, é igual a zero.
Passo 3
Agora, vamos ver o que significa eventos independentes. Dois eventos são independentes se a ocorrência de um não afeta a ocorrência do outro. Matematicamente, isso é representado por:
Ou seja, a probabilidade de ambos acontecerem juntos é igual ao produto das probabilidades individuais.
Passo 4
Vamos juntar essas informações para ver se é possível que A e B sejam tanto mutuamente exclusivos quanto independentes. Sabemos que:
- Como são mutuamente exclusivos,
. - Se fossem independentes,
.
Então, teríamos:
Passo 5
Mas, de acordo com o enunciado,
e
. Isso significa que o produto
também seria maior que zero. Portanto, teríamos uma contradição, já que:
Resposta
Não, não é possível que dois eventos mutuamente exclusivos, cada um com probabilidade maior que zero, sejam independentes.