Se A e B são dois eventos mutuamente exclusivos, com P(A) > 0 e P(B) > 0, é possível que sejam independentes? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre dois eventos, A e B, que são mutuamente exclusivos, ou seja, eles não podem acontecer ao mesmo tempo. Além disso, sabemos que as probabilidades de cada um acontecer são maiores que zero. A pergunta é: será que esses dois eventos podem ser independentes ao mesmo tempo? Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa eventos mutuamente exclusivos e o que significa serem independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são eventos mutuamente exclusivos. Dois eventos são mutuamente exclusivos se eles não podem ocorrer juntos. Isso significa que a probabilidade de ambos acontecerem ao mesmo tempo, , é igual a zero.

Passo 3

Agora, vamos ver o que significa eventos independentes. Dois eventos são independentes se a ocorrência de um não afeta a ocorrência do outro. Matematicamente, isso é representado por:
P(A cap B) = P(A) times P(B)
Ou seja, a probabilidade de ambos acontecerem juntos é igual ao produto das probabilidades individuais.

Passo 4

Vamos juntar essas informações para ver se é possível que A e B sejam tanto mutuamente exclusivos quanto independentes. Sabemos que:
  1. Como são mutuamente exclusivos, 0 = P(A) times P(B) .
  2. Se fossem independentes, .
Então, teríamos:

Passo 5

Mas, de acordo com o enunciado, 0 neq P(A) times P(B) e . Isso significa que o produto também seria maior que zero. Portanto, teríamos uma contradição, já que:

Resposta

Não, não é possível que dois eventos mutuamente exclusivos, cada um com probabilidade maior que zero, sejam independentes.

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