3^3 ) Um balanço gigante de parque de diversões consiste em um eixo vertical central com diversos braços horizontais ligados em sua extremidade superior. Cada braço suspende um assento por meio de um cabo de 5,0 m de comprimento e a extremidade superior do cabó está presa ao braço a uma distância de 3,0 m do eixo central. Calcule a velocidade do balanço quando o cabo que suporta o assento faz um ângulo de 30^circ com a vertical. (2,5 pontos)

Passo 1

Então, vamos lá! Temos um balanço gigante no parque de diversões com um eixo central vertical e vários braços horizontais. Cada braço tem um cabo de 5,0 metros de comprimento que segura o assento. A parte de cima do cabo está ligada ao braço a 3,0 metros do eixo central. A pergunta é: qual é a velocidade do balanço quando o cabo faz um ângulo de 30 graus com a vertical? Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia mecânica e movimento circular.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que, quando o balanço está em movimento, ele tem energia potencial e energia cinética. No ponto mais alto, onde o cabo faz 30 graus com a vertical, parte da energia potencial se transforma em energia cinética, ou seja, movimento.

Passo 3

Vamos calcular a altura que o assento sobe em relação à posição mais baixa. Para isso, usamos trigonometria no triângulo formado pelo cabo e a vertical:
h = L - L cos(theta)
Onde:
  • h = 5,0 - 5,0 cos(30^circ) (comprimento do cabo)
  • (ângulo com a vertical)
Então:

Passo 4

Calculando cos(30^circ) = raiz32 approx 0,866 :
h = 5,0 - 5,0 times 0,866 = 5,0 - 4,33 = 0,67 , m
Então:

Passo 5

Agora, usamos o princípio da conservação da energia. A energia potencial no ponto mais baixo é totalmente convertida em energia potencial no ponto mais alto mais a energia cinética no ponto mais alto:
mgh = 12mv^2
Observamos que a massa gh = 12v^2 cancela dos dois lados:

Passo 6

Resolvendo para v = raiz2gh :
v = raiz2 times 9,8 times 0,67 = raiz13,13 approx 3,62 , m/s
Onde e :

Resposta

A velocidade do balanço quando o cabo faz um ângulo de 30 graus com a vertical é aproximadamente 3,62 metros por segundo.

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