Ignore a resistência do ar e considere g=9.8 m / s^2 na superficie da Terra. Sua resposta deve ser semanticamente consistente; explicite equações e demonstrações. Para obter algum valor numérico, explicite a equação simbólica utilizada, os valores substituidos e as unidades. Use a folha de fespostas com caneta esferografica azul ou preta.
2,0
1^ a ) Um cachorro corre por um jardim de forma que os componentes x e y de seu deslocamento como função do tempo são dados por x(t)=-0,45 t^2-6,5 t+25 e y(t)=0,35 t^2+8,3 t+34. (Tanto x quanto y estão em metros e t está em segundos). (a) Calcule a posição do coelho (módulo e orientação) em t=10 s (1,0 ponto); (b) Calcule o módulo da velocidade do coelho em t=10 s (0,5 ponto); © Determine o vetor aceleração (módulo e orientação) emt t=10 s. ( 1,0 ponto)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a posição, a velocidade e a aceleração de um cachorro em um jardim, considerando suas funções de deslocamento nas direções x e y em função do tempo. Vamos precisar usar conceitos de cinemática, como derivadas para encontrar velocidade e aceleração, além de fórmulas de módulo e ângulo para determinar a orientação.

Passo 2

Parte a) Queremos encontrar a posição do cachorro no tempo x(t) = -0,45 t^2 - 6,5 t + 25 segundos, tanto o módulo (distância) quanto a orientação (ângulo em relação ao eixo x).
Primeiro, vamos calcular as posições nas direções x e y usando as equações fornecidas:
y(t) = 0,35 t^2 + 8,3 t + 34
x(10) = -0,45 (10)^2 - 6,5 (10) + 25 = -0,45 times 100 - 65 + 25 = -45 - 65 + 25 = -85 metros
Substituindo y(10) = 0,35 (10)^2 + 8,3 (10) + 34 = 0,35 times 100 + 83 + 34 = 35 + 83 + 34 = 152 metros s:

Passo 3

Agora, para encontrar o módulo da posição, usamos o teorema de Pitágoras:
Módulo = raizx^2 + y^2 = raiz(-85)^2 + (152)^2 = raiz7225 + 23104 = raiz30329 approx 174,2 metros ó
Para encontrar a orientação (ângulo tan(theta) = yx = 152-85 implies theta = arctan(152-85) em relação ao eixo x), usamos a tangente:
theta approx arctan(-1,788) approx -60,8^circ
Calculando:
theta approx 180^circ - 60,8^circ = 119,2^circ
Como o x é negativo e o y é positivo, o ângulo está no segundo quadrante. Portanto, adicionamos 180°:

Passo 4

Parte b) Para encontrar o módulo da velocidade no tempo vx(t) = dxdt = ddt(-0,45 t^2 - 6,5 t + 25) = -0,9 t - 6,5 s, precisamos primeiro encontrar as componentes da velocidade, que são as derivadas das funções de posição em relação ao tempo.
Derivando vy(t) = dydt = ddt(0,35 t^2 + 8,3 t + 34) = 0,7 t + 8,3 :
vx(10) = -0,9 times 10 - 6,5 = -9 - 6,5 = -15,5 m/s
Derivando vy(10) = 0,7 times 10 + 8,3 = 7 + 8,3 = 15,3 m/s :
Velocidade = raizvx^2 + vy^2 = raiz(-15,5)^2 + (15,3)^2 = raiz240,25 + 234,09 = raiz474,34 approx 21,77 m/s
Substituindo s:
Agora, calculamos o módulo da velocidade:

Passo 5

Parte c) Para determinar o vetor aceleração no tempo ax(t) = dvxdt = ddt(-0,9 t - 6,5) = -0,9 m/s^2 s, precisamos encontrar as derivadas das velocidades em relação ao tempo, ou seja, as segundas derivadas das funções de posição.
Derivando ay(t) = dvydt = ddt(0,7 t + 8,3) = 0,7 m/s^2 :
a = -0,9, i + 0,7, j m/s^2
Derivando Módulo = raizax^2 + ay^2 = raiz(-0,9)^2 + (0,7)^2 = raiz0,81 + 0,49 = raiz1,3 approx 1,14 m/s^2 :
tan(theta) = ayax = 0,7-0,9 implies theta = arctan(0,7-0,9) approx arctan(-0,778) approx -37,5^circ
Portanto, o vetor aceleração é:
theta approx 180^circ - 37,5^circ = 142,5^circ
Calculando o módulo da aceleração:
ó
Para a orientação, calculamos o ângulo:
Como é negativo e é positivo, o ângulo está no segundo quadrante:

Resposta

a) A posição do cachorro em s é de aproximadamente 174,2 metros com uma orientação de 119,2° em relação ao eixo x.
b) O módulo da velocidade do cachorro em s é aproximadamente 21,77 m/s.
c) O vetor aceleração do cachorro em s tem um módulo de aproximadamente 1,14 m/s² e uma orientação de 142,5° em relação ao eixo x.

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