1. Uma prancha uniforme, com um comprimento L=6,10 m e um peso de P =445 N, repousa apoiada no chão e em um rolamento sem atrito no alto de uma parede de altura h=3,05 m, figura 10. A prancha permanece em equilíbrio para qualquer valor de theta<70^circ. Determine o coeficiente de atrito estático entre a prancha e o chão.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma prancha uniforme que tem 6,10 metros de comprimento e pesa 445 N. Ela está apoiada no chão e também em um rolamento no alto de uma parede que tem 3,05 metros de altura. A prancha fica estável enquanto o ângulo θ for menor que 70 graus. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o coeficiente de atrito estático entre a prancha e o chão. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equilíbrio de forças e momentos, além de entender como o atrito funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um diagrama livre de corpo para visualizar as forças agindo na prancha. Temos:
  1. Peso §: 445 N, agindo no centro da prancha.
  2. Força Normal (N): A força que o chão exerce para cima na prancha.
  3. Força de Atrito (f): A força que impede a prancha de deslizar, atuando horizontalmente no chão.
  4. Reação no Rolamento: Como o rolamento é sem atrito, ele só exerce uma força vertical (vamos chamar de R).

Passo 3

Como a prancha está em equilíbrio, a soma das forças na horizontal e na vertical deve ser zero, e a soma dos momentos também deve ser zero. Vamos escrever essas equações:
  • Equilíbrio Vertical:
    N + R - P = 0
  • Equilíbrio Horizontal:
    f = 0 (Como não há outras forças horizontais além do atrito) ãáçé
  • Equilíbrio de Momentos:
    Vamos calcular os momentos em relação ao ponto onde a prancha toca o chão para eliminar a força normal N e a força de atrito f, que atuam nesse ponto.

Passo 4

Escolhemos o ponto de apoio no chão para calcular os momentos porque isso simplifica os cálculos. O momento é dado pela força multiplicada pela distância perpendicular ao ponto de rotação.
  • Momento devido ao Peso:
    O peso P atua no centro da prancha, que está a uma distância tauP = P times L2 costheta do ponto de apoio.
    tauR = R times h
  • Momento devido à Reação no Rolamento:
    A reação R atua no topo da parede, que está a uma distância tauP = tauR do chão. A distância horizontal é P times L2 costheta = R times h , então o momento é:
Para equilíbrio:

Passo 5

Vamos resolver para R:
R = P times L2 costhetah
Substituindo os valores:
R = 445 times 6,102 cos70°3,05
R = 445 times 3,05 times 0,34203,05
R = 445 times 0,3420
R approx 152 N

Passo 6

Agora, voltando à equação de equilíbrio vertical:
N + R = P
N = P - R
N = 445 - 152
N = 293 N

Passo 7

O atrito estático máximo que impede a prancha de deslizar é dado por:
fmax = mus times N
No ponto de equilíbrio, o atrito necessário é igual à componente horizontal das forças. Mas como o rolamento é sem atrito, toda a força horizontal vem do atrito.
Sabemos que no ângulo crítico θ = 70°, a tendência é que a prancha comece a deslizar, então:
fmax = P times sintheta
mus times N = P times sintheta
mus = P times sinthetaN

Passo 8

Substituindo os valores:
mus = 445 times sin70°293
mus = 445 times 0,9397293
mus approx 418,7293
mus approx 1,43

Resposta

O coeficiente de atrito estático entre a prancha e o chão é aproximadamente 1,43.

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