Um balão esférico está sendo inflado a uma taxa de
. Encontre a taxa de variação de área de superfície quando o raio é de 5 cm . Dados:
e
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem um balão esférico que está sendo inflado, e queremos descobrir quão rápido a área da superfície está mudando quando o raio do balão é de 5 cm. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo relacionado a taxas de variação. As fórmulas que vamos precisar são:
- Volume da esfera:
- Área da superfície da esfera:
Passo 2
Primeiro, sabemos que o volume do balão está aumentando a uma taxa de
. Nosso objetivo é encontrar a taxa de variação da área da superfície,
, quando o raio
.
Passo 3
Vamos começar encontrando a relação entre a taxa de variação do volume e a taxa de variação do raio. Para isso, derivamos a fórmula do volume em relação ao tempo:
Agora, isolamos
:
Passo 4
Substituindo os valores que temos:
Passo 5
Agora que sabemos
, vamos encontrar
derivando a fórmula da área da superfície:
Passo 6
Substituindo
e
:
Resposta
A taxa de variação da área da superfície quando o raio é de 5 cm é de 4 cm²/s.
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