Um departamento de estradas de rodagem está planejando fazer uma área de descanso para motoristas, à beira de uma rodovia movimentada. O terreno deve ser retangular, com uma área de
e deve ser cercado nos três lados que não dão para a rodovia. Qual o menor comprimento da cerca necessária para a obra?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que construir uma área de descanso retangular com uma área de
ao lado de uma rodovia movimentada. Só precisamos cercar três lados desse retângulo (os que não estão na rodovia). Nosso objetivo é descobrir qual é o menor comprimento de cerca necessário para essa obra. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria e otimização.
Passo 2
Vamos começar definindo as dimensões do retângulo. Vamos chamar de
o comprimento do lado que está paralelo à rodovia e de
os dois lados que vão de cada lado desse lado paralelo. Como a área é
, temos:
Passo 3
Agora, queremos minimizar o comprimento total da cerca que será usada nos três lados. Como estamos cercando três lados (um lado
e dois lados
), o comprimento total da cerca (
) é:
Passo 4
Para encontrar o valor mínimo de
, vamos expressar
em termos de uma única variável. Da equação da área, podemos isolar
:
Substituindo isso na equação do comprimento da cerca:
Passo 5
Agora, queremos encontrar o valor de
que minimiza
. Para isso, vamos derivar
em relação a
e achar onde a derivada é zero. A derivada de
é:
Passo 6
Igualamos a derivada a zero para encontrar o ponto de mínimo:
Passo 7
Agora que temos
, vamos encontrar
usando a equação da área:
Passo 8
Com
e
, vamos calcular o comprimento total da cerca:
Resposta
O menor comprimento de cerca necessário para a obra é de 200 metros.
Exercícios relacionados
Utilizando a definição de limite, prove formalmente que:
,
Um balão esférico está sendo inflado a uma taxa de
. Encontre a taxa de variação de área de superfície quando o raio é de 5 cm . Dados:
e
Utilizando a definição de limite, prove formalmente que:
,
Para as funções abaixo indicadas, mostre que
não existe, onde