Calcule os limites:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um limite para resolver:
Esse exercício está dentro do conteúdo de Limites de Funções de Várias Variáveis na matéria de Cálculo. Para resolver, a gente vai precisar entender como manipular expressões com raízes e analisar o comportamento da função quando
e
chegam a zero pela direita.
Passo 2
Primeiro, vamos observar o que acontece com o numerador e o denominador quando
e
se aproximam de 0. Se substituirmos diretamente, temos:
o que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Para simplificar, vamos utilizar uma técnica de racionalização. Multiplicamos o numerador e o denominador pela expressão conjugada do denominador:
Isso funciona porque
, o que simplifica o denominador.
Passo 4
Simplificando o denominador:
Então, temos:
Agora, a expressão ficou mais simples:
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite da expressão simplificada:
Como
e
tendem a 0 quando
e
tendem a 0 pela direita, temos:
Resposta
O limite é 0.
Exercícios relacionados
Para as funções
abaixo indicadas, mostre que
existe e calcule o seu valor, onde
Utilizando a definição de limite, prove formalmente que:
,
Um balão esférico está sendo inflado a uma taxa de
. Encontre a taxa de variação de área de superfície quando o raio é de 5 cm . Dados:
e