Um balão em movimento vertical ascendente com velocidade constante de 10 m / s está a 75 metros do solo quando um objeto se desprende dele. Considerando a aceleração da gravidade igual a 10 m / s^2 e desprezando a resistência do ar, determine o tempo, em segundos, que o objeto levará para atingir o solo.

Passo 1

O problema nos diz que um balão está subindo com uma velocidade constante de 10 , m/s e, a uma altura de 75 , metros do chão, um objeto se solta dele. Vamos usar conceitos de cinemática, especificamente o movimento uniformemente variado, para descobrir quanto tempo esse objeto leva para atingir o solo. Precisaremos considerar a aceleração da gravidade e a velocidade inicial do objeto.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados:
  • Velocidade inicial do objeto, v0 = 10 , m/s (para cima)
  • Altura inicial, s0 = 75 , m
  • Aceleração da gravidade, g = 10 , m/s^2 (para baixo)

Passo 3

Quando o objeto se solta, ele tem uma velocidade inicial para cima, mas a gravidade vai desacelerar esse movimento e, eventualmente, fazer com que ele caia. A equação que relaciona a posição, velocidade, aceleração e tempo é:
s(t) = s0 + v0 t - 12 g t^2
Aqui, o termo - 12 g t^2 representa a influência da gravidade.

Passo 4

Queremos saber quando o objeto atinge o solo, ou seja, quando s(t) = 0. Vamos substituir os valores na equação:
0 = 75 + 10 t - 5 t^2

Passo 5

Agora, resolvemos a equação quadrática -5 t^2 + 10 t + 75 = 0. Podemos simplificar dividindo todos os termos por -5:
t^2 - 2 t - 15 = 0

Passo 6

Para resolver a equação t^2 - 2 t - 15 = 0, usamos a fórmula de Bhaskara:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 1, b = -2, e c = -15.

Passo 7

Calculando o discriminante:
De
Como De 0, temos duas soluções reais.

Passo 8

Aplicando a fórmula de Bhaskara:
t = 2 pm raiz642 = 2 pm 82
Isso resulta em duas soluções:
t = 102 = 5 segundos
t = -62 = -3 segundos
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos t = -3.

Resposta

O objeto levará 5 , segundos para atingir o solo.

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