Um barco atravessa um rio seguindo o caminho mais curto entre suas margens, que são paralelas. Sabendo que a largura do rio é de 2 , 0 k m, que o tempo de travessia é de 1 5 minutos, e que a velocidade da correnteza é de 6,0 km / h, determine o vetor velocidade e seu respectivo módulo para o barco em relação à água. Obs: é necessário definir o sistema de coordenadas na sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar a velocidade do barco em relação à água enquanto ele atravessa um rio. A gente tem que lidar com conceitos de vetores e movimento relativo. Vamos precisar usar noções de velocidade vetorial, decomposição de vetores e cálculo de módulo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir um sistema de coordenadas para facilitar. Vamos escolher o eixo x na direção da correnteza do rio (horizontal) e o eixo y na direção perpendicular às margens do rio (vertical), ou seja, de um lado para o outro.

Passo 3

Sabemos que a largura do rio é de vy = distânciatempo = 2,0 , km0,25 , h = 8,0 , km/h e o tempo de travessia é de (ou ). A velocidade resultante na direção y (perpendicular ao rio) pode ser calculada usando a fórmula:
â
Essa é a velocidade que o barco precisa ter na direção y para atravessar o rio em 15 minutos.

Passo 4

Agora, vamos considerar a correnteza do rio. A velocidade da correnteza é de vx = -6,0 , km/h na direção x. Para que o barco siga em linha reta, a componente da velocidade do barco na direção x deve cancelar a correnteza. Ou seja:
O sinal negativo indica que o barco precisa apontar sua direção de navegação contra a correnteza.

Passo 5

Com as componentes x e y determinadas, podemos representar o vetor velocidade do barco em relação à água ( vbarco = vx i + vy j = -6,0 , i + 8,0 , j , km/h ):

Passo 6

Para encontrar o módulo da velocidade do barco, usamos a fórmula do módulo de um vetor:
|vbarco| = raizvx^2 + vy^2 = raiz(-6,0)^2 + (8,0)^2 = raiz36 + 64 = raiz100 = 10,0 , km/h

Resposta

A velocidade do barco em relação à água é representada pelo vetor e seu módulo é .

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