Um balão de ar quente (com a forma aproximada de uma esfera de 20 m de diâmetro) deve levantar um cesto com carga de 2000 N. Até que temperatura o ar deve ser aquecido de modo a possibilitar a decolagem? Considere que a temperatura do ar está a 25° C.
A) T = 33,1 °C
B)T = 37,7 °C
C)T = 42,8 °C
D)T = 49,2 °C
E)T = 56,2 °C

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um balão de ar quente, que é mais ou menos uma esfera com 20 metros de diâmetro. Esse balão precisa levantar um cesto que pesa 2000 N. A temperatura inicial do ar dentro do balão é de 25°C. A gente precisa descobrir até que temperatura o ar dentro do balão precisa ser aquecido para que ele consiga levantar o cesto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Flutuabilidade e Lei dos Gases Ideais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o volume do balão. Como o balão é uma esfera, usamos a fórmula do volume da esfera:
V = 43 pi r^3
Como o diâmetro é 20 m, o raio $ r $ é metade disso:
r
Então,
r = 202 = 10 , m

Passo 3

Agora, vamos calcular o peso do ar que seria deslocado pelo balão quando está na temperatura ambiente (25°C). A força de empuxo é igual ao peso do ar deslocado. A densidade do ar a 25°C ($ \rho_{ar} $) é aproximadamente 1,184 kg/m³.
Então, o peso do ar deslocado é:
rhoar
Onde $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,81 m/s²).
Substituindo os valores:
Far = rhoar times V times g

Passo 4

A força de empuxo precisa ser igual ao peso que o balão precisa levantar mais o peso do ar quente dentro do balão. Ou seja:
Fempuxo = Fcesto + Far quente
Queremos que o empuxo supere os 2000 N do cesto. Vamos assumir que o peso do ar quente será subtraído do empuxo, então:
Fempuxo - Far quente >= 2000 , N

Passo 5

Para encontrar a temperatura necessária, usamos a Lei dos Gases Ideais, que relaciona densidade e temperatura. A densidade do ar quente ($ \rho_{quente} $) é inversamente proporcional à temperatura absoluta (em Kelvin):
rhoquente
Onde $ T $ está em Kelvin. Primeiro, vamos converter a temperatura inicial de 25°C para Kelvin:
rhoquenterhoar = TarTquente

Passo 6

Reorganizando a equação para encontrar $ T_{quente} $:
Tquente
Sabemos que para gerar um empuxo de 2000 N, precisamos que a diferença de densidade resulte nesse valor. Após os cálculos, encontramos que:
Tquente = rhoarrhoquente times Tar

Resposta

A temperatura necessária para que o balão de ar quente consiga levantar o cesto é 37,7 °C.

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