Um bloco de gelo escorrega sobre uma rampa cuja inclinação é tal que a velocidade do bloco é constante e igual a 4m/s. O coeficiente de atrito entre a rampa e o gelo é de 0,5. Considerando a aceleração da gravidade como 10m/s^2 e o calor específico do gelo como 2000 J/Kg ºC, calcule o tempo aproximado pelo qual o bloco deve escorregar para que sua temperatura aumente em 6 ºC.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um bloco de gelo deslizando por uma rampa com algumas características específicas. A velocidade do bloco é constante em 4 m/s, o coeficiente de atrito entre a rampa e o gelo é 0,5, a gravidade é 10 m/s² e o calor específico do gelo é 2000 J/(kg °C). Queremos descobrir quanto tempo o bloco precisa deslizar para que sua temperatura aumente 6 °C. Vamos utilizar conceitos de forças em planos inclinados e transferência de calor para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender por que a velocidade do bloco está constante. Quando a velocidade é constante, significa que a força que empurra o bloco para baixo pela rampa é igual à força de atrito que está resistindo ao movimento. Então, balanceamos essas forças para achar alguma relação útil.

Passo 3

Para isso, vamos calcular a força de atrito. A força de atrito ( Fatrito) é dada por:
Fatrito = mu cdot N
Onde:
  • mu = 0,5 é o coeficiente de atrito
  • N é a força normal
Em um plano inclinado, a força normal é:
N = m cdot g cdot cos(theta)
Mas como não temos a massa ( m) nem o ângulo ( theta), precisamos relacionar isso com outras informações.

Passo 4

Sabemos que a velocidade é constante, então as forças estão equilibradas. A componente do peso na direção da rampa é m cdot g cdot sin(theta). Então:
m cdot g cdot sin(theta) = Fatrito = mu cdot m cdot g cdot cos(theta)
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por m cdot g:
sin(theta) = mu cdot cos(theta)
Isso implica que:
tan(theta) = mu = 0,5

Passo 5

Agora, vamos relacionar a energia dissipada pelo atrito com o aumento de temperatura do gelo. A energia dissipada ( Q) pelo atrito em um tempo t é:
Q = Fatrito cdot v cdot t
Onde:
  • v = 4 , m/s é a velocidade constante
Por outro lado, o aumento de energia térmica no gelo é:
Q = m cdot c cdot De
Onde:
  • c = 2000 , J/(kg°C) é o calor específico
  • De é a variação de temperatura
Igualando as duas expressões:
m cdot c cdot De
Note que m aparece em ambos os lados e pode ser cancelado:
c cdot De

Passo 6

Queremos isolar o tempo t. Assim:
t = c cdot De
Sabemos que cos(theta) pode ser expresso em termos de mu porque tan(theta) = mu:
cos(theta) = 1raiz1 + mu^2 = 1raiz1 + 0,5^2 = 1raiz1,25 approx 0,8944
Substituindo os valores:
t = 2000 cdot 60,5 cdot 10 cdot 0,8944 cdot 4

Passo 7

Calculando os valores:
t = 120000,5 cdot 10 cdot 0,8944 cdot 4 = 1200017,888 approx 670,8 , segundos

Resposta

O bloco deve escorregar por aproximadamente 671 segundos para que sua temperatura aumente em 6 °C.

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