Um balão de ar quente está subindo a taxa de e está 80 m acima do chão quando se solta um pacote pela lateral. Com que velocidade ele bate no chão?
61P. Um elevador sem teto está subindo com uma velocidade constante de . Um garoto no elevador dispara uma bala para cima bem na direção vertical, de uma altura de acima do piso do elevador, exatamente quando o piso do elevador está a 28 m acima do chão. A velocidade inicial da bala em relação ao elevador e de . (a) Qual a altura máxima acima do chão que a bala alcança? (b) Quanto tempo a bala leva para voltar para o piso do elevador?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um elevador que está subindo com velocidade constante de . Dentro desse elevador, um garoto dispara uma bala pra cima com uma velocidade inicial de , a partir de uma altura de do piso do elevador. No momento do disparo, o piso do elevador está a do chão. Vamos usar conceitos de movimento relativo e cinemática para descobrir:
a) A altura máxima que a bala atinge acima do chão.
b) Quanto tempo a bala leva para voltar e bater de volta no piso do elevador.

Passo 2

Antes de mais nada, precisamos entender o referencial. Como o elevador está se movendo para cima com velocidade constante, e a bala é disparada para cima dentro dele, a velocidade inicial da bala em relação ao chão não é apenas , mas também inclui a velocidade do elevador.
Vamos calcular a velocidade inicial da bala em relação ao chão ( ).
Sabemos que:
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, para encontrar a altura máxima que a bala atinge, usamos a equação de movimento uniformemente variado, onde a velocidade final no ponto mais alto é . A equação é:
Aqui:
  • (velocidade no ponto mais alto)
  • (aceleração devido à gravidade, negativa pois está contra o movimento)
Rearranjando para encontrar :

Passo 4

A altura máxima acima do chão ( á) é a soma da altura inicial do piso do elevador, da altura de disparo da bala e da que acabamos de calcular.
ááá

Passo 5

Agora, para a parte (b), queremos saber quanto tempo a bala leva para voltar e bater de volta no piso do elevador. Primeiro, calculamos o tempo total de subida e descida da bala.
Usando a equação:
No ponto mais alto, :
O tempo de descida será igual ao tempo de subida se considerarmos apenas a subida e descida da bala em relação ao ponto de lançamento. Porém, precisamos considerar que o elevador também está subindo durante esse tempo.
A posição do elevador após o tempo é:
A posição da bala em relação ao chão durante a descida pode ser descrita por:
á
Para encontrar o tempo em que a bala retorna ao piso do elevador, igualamos e :
Resolvendo a equação quadrática:
Desprezamos a solução negativa:
No total, o tempo total desde o disparo até o retorno é:

Resposta

a) A altura máxima que a bala alcança acima do chão é de aproximadamente .
b) O tempo que a bala leva para voltar e bater no piso do elevador é de aproximadamente .

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