Quando um balão está sendo preenchido de ar, tanto seu volume quanto seu raio aumentam ao longo do tempo. Seja V o volume de ar e r o raio do balão em um dado instante e, sabendo que eles estão associados pela lei de formação V=(4pir³)/3, assinale a alternativa que apresenta a variação do volume do balão com relação ao raio quando este é igual a 15m
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre como o volume de um balão muda quando o raio dele aumenta. A gente vai precisar entender um pouquinho de cálculo, especificamente derivadas, pra encontrar essa variação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula que relaciona o volume $ V $ de uma esfera com o seu raio $ r $:
Essa é a equação que vamos usar para achar como o volume muda em relação ao raio.
Passo 3
Agora, pra descobrir como o volume varia quando o raio muda, a gente precisa calcular a derivada de $ V $ em relação a $ r $. A derivada nos dá a taxa de variação, ou seja, o quanto o volume aumenta para cada aumento no raio.
Passo 4
Vamos calcular a derivada:
Então, a variação do volume em relação ao raio é $ 4\pi r^2 $.
Passo 5
Finalmente, vamos substituir $ r = 15 $ metros na expressão da derivada para encontrar a variação específica naquele instante:
Resposta
A variação do volume do balão em relação ao raio quando $ r = 15 $ metros é $ 900\pi , m^2 $.