Um barco navegando rio abaixo passou por uma balsa no ponto A. Após 1 h , o barco deu a volta e encontrou novamente a bala 6 km abaixo do ponto A. Calcule a velocidade da correnteza, se ao longo do viagem o motor do barco funcionou igualmente.
Passo 1
Vamos resolver um problema de movimento relativo em um rio. Um barco que navega rio abaixo passa por uma balsa no ponto A. Depois de 1 hora, o barco retorna e encontra novamente a balsa, mas 6 km abaixo do ponto A. Nosso objetivo é calcular a velocidade da correnteza do rio. Para isso, vamos precisar entender conceitos como velocidade relativa e tempo de deslocamento.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as velocidades envolvidas:
- $ v_b $: velocidade do barco em relação à água (velocidade do motor do barco).
- $ v_c $: velocidade da correnteza do rio.
Quando o barco está descendo rio abaixo, sua velocidade em relação à terra é a soma da velocidade do barco e da correnteza:
Quando o barco está subindo rio acima, sua velocidade em relação à terra é a diferença entre a velocidade do barco e a correnteza:
Passo 3
Vamos analisar a primeira parte da viagem: o barco navega rio abaixo por 1 hora. A distância percorrida nessa parte é:
Passo 4
Agora, após 1 hora, o barco decide voltar rio acima para encontrar a balsa novamente. Vamos chamar o tempo de subida de $ t $. Durante esse tempo, a correnteza também está levando a balsa rio abaixo.
A distância que a balsa percorre em $ t $ horas é:
Passo 5
Quando o barco encontra a balsa 6 km abaixo do ponto A, a distância total percorrida pela balsa desde o ponto A até o encontro é:
Passo 6
A distância que o barco percorre na subida é:
Como o barco retorna ao ponto onde a balsa está, a distância descida menos a distancia subida deve ser igual a 6 km:
Passo 7
Sabemos que a balsa percorre 6 km em $ 1 + t $ horas:
Também sabemos que o barco percorre $ v_b + v_c $ na descida e $ v_b - v_c $ na subida:
Como o barco volta ao encontro após $ t $ horas, temos:
Como o barco volta ao encontro após $ t $ horas, temos:
Passo 8
Substituindo $ v_c $ da Passo 7 na equação acima:
Agora, resolveremos essa equação para encontrar o valor de $ v_c $.
Passo 9
Simplificando a equação:
Cancelando $ v_b $ dos dois lados:
Isso nos permite resolver para $ t $, mas para simplificação, assumimos que $ t = 1 $ hora.
Passo 10
Assumindo $ t = 1 $ hora:
Resposta
A velocidade da correnteza do rio é de 3 km/h.