Um barco de pesca está ancorado em um lago tranquilo, e dois pescadores, João e Maria, estão usando varas para pescar. As direções de suas linhas de pesca podem ser representadas por vetores. A linha de pesca de João pode ser representada pelo vetor
metros, onde
representa a direção leste e
representa a direção norte. A linha de pesca de Maria é representada pelo vetor
. (a) calcule o módulo dos vetores
e
que representam a linha de pesca de João e Maria; (b) Determine o vetor resultante
. Calcule seu módulo, direção e sentido. Interprete o resultado: o que isso significa para a posição dos pescadores em relação ao barco? © o ângulo entre os dois vetores
e
. O que esse ângulo revela sobre a relação entre as direções das linhas de pesca? (d) calcule o produto escalar
e o produto vetorial
. O que cada um desses resultados indica sobre a interação entre as linhas de pesca de João e Maria?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. Temos um barco de pesca no lago e dois pescadores, o João e a Maria, cada um com uma linha de pesca que podemos representar por vetores. A gente vai trabalhar com vetores para entender as direções e magnitudes das linhas de pesca deles. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra vetorial, como módulo de vetores, soma de vetores, ângulo entre vetores, produto escalar e produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o módulo dos vetores
e
que representam as linhas de pesca do João e da Maria.
O módulo de um vetor
é dado por:
Passo 3
Vamos calcular o módulo do vetor
:
Passo 4
Agora, o módulo do vetor
:
Passo 5
Então, os módulos das linhas de pesca de João e Maria são ambos aproximadamente 3,605 metros.
Passo 6
Agora, vamos determinar o vetor resultante
. Para somar dois vetores, somamos suas componentes correspondentes:
Passo 7
Vamos calcular o módulo de
:
Passo 8
Para achar a direção de
, usamos a função arctan que nos dá o ângulo em relação ao eixo
:
Isso significa que a direção está 11,31 graus ao sul do leste.
Passo 9
O sentido do vetor
é dado pela direção que acabamos de calcular, ou seja, 11,31 graus ao sul do leste.
Passo 10
Interpretando o resultado: a posição resultante dos pescadores em relação ao barco está a aproximadamente 5,099 metros na direção 11,31 graus ao sul do leste a partir do barco.
Passo 11
Agora, vamos calcular o ângulo entre os vetores
e
. Usamos a fórmula do produto escalar:
Resolvendo para
:
Passo 12
Primeiro, calculamos o produto escalar
:
Passo 13
Agora, calculamos o ângulo:
Isso mostra que as linhas de pesca estão perpendiculares entre si.
Passo 14
Por fim, vamos calcular o produto vetorial
. Em duas dimensões, o produto vetorial resulta em um escalar que representa a área do paralelogramo formado pelos vetores:
Passo 15
Interpretando os resultados:
- O produto escalar zero indica que as linhas de pesca são perpendiculares.
- O produto vetorial de 13,0 mostra que há uma área significativa de interação entre as linhas, mas como estamos em 2D, isso indica simplesmente a orientação relativa.
Resposta
(a) Os módulos das linhas de pesca de João e Maria são aproximadamente 3,605 metros cada;
(b) O vetor resultante é
com módulo aproximadamente 5,099 metros, direção 11,31° ao sul do leste. Isso significa que os pescadores estão posicionados a cerca de 5,099 metros do barco nessa direção;
© O ângulo entre as linhas de pesca é 90°, indicando que elas são perpendiculares;
(d) O produto escalar
mostra que as linhas são perpendiculares, e o produto vetorial
reflete a relação angular entre elas.