Um barco de pesca está ancorado em um lago tranquilo, e dois pescadores, João e Maria, estão usando varas para pescar. As direções de suas linhas de pesca podem ser representadas por vetores. A linha de pesca de João pode ser representada pelo vetor a=2,0 i-3,0 j metros, onde i representa a direção leste e j representa a direção norte. A linha de pesca de Maria é representada pelo vetor b=3,0 i+2,0 j. (a) calcule o módulo dos vetores a e b que representam a linha de pesca de João e Maria; (b) Determine o vetor resultante R=a+b. Calcule seu módulo, direção e sentido. Interprete o resultado: o que isso significa para a posição dos pescadores em relação ao barco? © o ângulo entre os dois vetores a e b. O que esse ângulo revela sobre a relação entre as direções das linhas de pesca? (d) calcule o produto escalar a b e o produto vetorial a times b. O que cada um desses resultados indica sobre a interação entre as linhas de pesca de João e Maria?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. Temos um barco de pesca no lago e dois pescadores, o João e a Maria, cada um com uma linha de pesca que podemos representar por vetores. A gente vai trabalhar com vetores para entender as direções e magnitudes das linhas de pesca deles. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra vetorial, como módulo de vetores, soma de vetores, ângulo entre vetores, produto escalar e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o módulo dos vetores a e b que representam as linhas de pesca do João e da Maria.
O módulo de um vetor v = vx i + vy j é dado por:
|v| = raizvx^2 + vy^2

Passo 3

Vamos calcular o módulo do vetor a = 2,0 i - 3,0 j:
|a| = raiz2,0^2 + (-3,0)^2 = raiz4 + 9 = raiz13 approx 3,605 metros

Passo 4

Agora, o módulo do vetor b = 3,0 i + 2,0 j:
|b| = raiz3,0^2 + 2,0^2 = raiz9 + 4 = raiz13 approx 3,605 metros

Passo 5

Então, os módulos das linhas de pesca de João e Maria são ambos aproximadamente 3,605 metros.

Passo 6

Agora, vamos determinar o vetor resultante R = a + b. Para somar dois vetores, somamos suas componentes correspondentes:
R = (2,0 + 3,0) i + (-3,0 + 2,0) j = 5,0 i - 1,0 j

Passo 7

Vamos calcular o módulo de R:
|R| = raiz5,0^2 + (-1,0)^2 = raiz25 + 1 = raiz26 approx 5,099 metros

Passo 8

Para achar a direção de R, usamos a função arctan que nos dá o ângulo em relação ao eixo i:
theta = arctan(-1,05,0) approx arctan(-0,2) approx -11,31^circ
Isso significa que a direção está 11,31 graus ao sul do leste.

Passo 9

O sentido do vetor R é dado pela direção que acabamos de calcular, ou seja, 11,31 graus ao sul do leste.

Passo 10

Interpretando o resultado: a posição resultante dos pescadores em relação ao barco está a aproximadamente 5,099 metros na direção 11,31 graus ao sul do leste a partir do barco.

Passo 11

Agora, vamos calcular o ângulo entre os vetores a e b. Usamos a fórmula do produto escalar:
a cdot b = |a| |b| cos(theta)
Resolvendo para theta:
theta = arccos(a cdot b|a| |b|)

Passo 12

Primeiro, calculamos o produto escalar a cdot b:
a cdot b = (2,0)(3,0) + (-3,0)(2,0) = 6,0 - 6,0 = 0

Passo 13

Agora, calculamos o ângulo:
theta = arccos(03,605 times 3,605) = arccos(0) = 90^circ
Isso mostra que as linhas de pesca estão perpendiculares entre si.

Passo 14

Por fim, vamos calcular o produto vetorial a times b. Em duas dimensões, o produto vetorial resulta em um escalar que representa a área do paralelogramo formado pelos vetores:
a times b = ax by - ay bx = 2,0 times 2,0 - (-3,0) times 3,0 = 4,0 + 9,0 = 13,0

Passo 15

Interpretando os resultados:
  • O produto escalar zero indica que as linhas de pesca são perpendiculares.
  • O produto vetorial de 13,0 mostra que há uma área significativa de interação entre as linhas, mas como estamos em 2D, isso indica simplesmente a orientação relativa.

Resposta

(a) Os módulos das linhas de pesca de João e Maria são aproximadamente 3,605 metros cada;
(b) O vetor resultante é R = 5,0 i - 1,0 j com módulo aproximadamente 5,099 metros, direção 11,31° ao sul do leste. Isso significa que os pescadores estão posicionados a cerca de 5,099 metros do barco nessa direção;
© O ângulo entre as linhas de pesca é 90°, indicando que elas são perpendiculares;
(d) O produto escalar a cdot b = 0 mostra que as linhas são perpendiculares, e o produto vetorial a times b = 13,0 reflete a relação angular entre elas.

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